Poprawa egzaminu

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
meaner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielece

Poprawa egzaminu

Post autor: meaner »

Witam , oblałem 1 termin egzaminu a na drugim będą zadania z pozamienianymi danymi. Mógłby ktoś mi sprawdzić czy dobrze zrobiłem i ewentualnie mnie poprawić ??
1. Stosując wzory Cramera wyznaczyć niewiadomą y \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ \mathbb{R}[/tex (i tylko y) z układu równań: [tex]\begin{cases} x-y + z = 2 \\ 4x+2z = 1\\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y + z = 2 \\ 4x+2z = 1\\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&|2\\4&0&2&|1\\-1&2&-1&|0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&|2\\4&0&2&|1\\-1&2&-1&|0\end{array}\right]^{W}}\) = 8+2-4-4 = 2
Wy = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\4&1&2\\-1&0&-1\end{array}\right]}\) = -1-4+1+8 = 4

y = \(\displaystyle{ \frac{4}{2}}\) = 2

2. Rozwiązać
a) 2 \(\displaystyle{ _{x}}\) = 1 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{5}}\) = 8
b) x^{2} = 2 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{7}}\) = 4
c) ( \(\displaystyle{ \frac{4}{5}) _{7}}\) = 5
d) (-7) \(\displaystyle{ _{13}}\) = 6

3. Wyznaczyć
a) Arg (-1-i) = arctg (\(\displaystyle{ \frac{-i}{-1}}\)) = 1
b) \(\displaystyle{ \overline{3-5i}}\) = nie mam pojęcia mógłby mi ktoś pomóc ??
c) \(\displaystyle{ |-2+5i| = \sqrt{2 ^{2} + 5^{2}}} } = \sqrt{29}}\)

4. Na płaszczyźnie wyznaczyć -2+i
Mógłby mi ktoś napisać w łopatologiczny sposób jak to się wyznacza ???

5. Uzupełnić:
a) arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2)
b) podać wzór na k-ty pierwiastek piątego sopnia z liczby \(\displaystyle{ z= |z|(cos \alpha + isin \alpha )
wk= \sqrt[5]{|z|}(cos \frac{ \alpha +2k \pi}{n} + isin \frac{ \alpha + 2k \pi}{n} )}\)


6. Wyznaczyć kombinację liniową wektorów [1,-2,1],[3,-2,0],[-1,2,-1] o współczynnikach 2,-1,3.
2*[1,-2,1] + (-1*[3,-2,0]) + 3*[-1,2,-1] = [2,-4,2] + [-3,2,0] + [-3,6,-3] = [-4,4,-1]

7. Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ U = {[t,3,s,0]: s,t in \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) } nie jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{4}}\)

Mógłby mi ktoś pomóc jak to zrobić bo nie mam pojęcia ??

8. Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni V = lin([2,3,1],[1,4,3],[3,2,4]) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{5}}\)

Mógłby mi ktoś pomóc jak to zrobić bo nie mam pojęcia ??

9. Podać dwa warunki równoważne warunkowi: r(A)= n (gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia n)
- det A \(\displaystyle{ \neq}\) 0
- kolumny macierzy A są liniową niezależne

10. Niech A \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{6,6}}\) i det A = . Wiadomo, że macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami kolumny drugiej i piątej, a drugi wiersz został pomnożony przez -3. Wówczas.
detB = ??
To jest wogóle kosmos, o co tutaj chodzi ??
Mógłby ktoś napisać ??

11. Obliczyć (1+i) \(\displaystyle{ ^{2012}}\). Wynik zapisać w postaci algebraicznej(tzn a+bi)
\(\displaystyle{ (1+i)^{2012} = \sqrt{2} (cos \frac{\pi}{4} + isin \frac{\pi}{4}) ^{2012}=
2 ^{1006}(cos \frac{2012\pi}{4} + isin \frac{2012\pi}{4}) =
2 ^{1006}(cos 503\pi + isin 503\pi) = 2 ^{1006}i}\)


12. Niech
A= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-1&2&1\end{array}\right]}\) B= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&0&2\\-1&2&1\end{array}\right]}\)
Wyznaczyć:
a) A \(\displaystyle{ ^{T} = \left[\begin{array}{cc}0&-1\\1&2\\2&1\end{array}\right]}\)
b) det B = 1
c) A*B = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-1&4&4\\1&1&3\end{array}\right]}\)

13. Niech A,B \(\displaystyle{ \in \mathbb{K} ^{n,n}}\) oraz det A = -2, det B = 3 Uzupełnić:
a) (AB) \(\displaystyle{ ^{-1} = \frac{1}{-6}}\)
b) det A \(\displaystyle{ ^{-1} = -\frac{1}{2}}\)
c) det B \(\displaystyle{ ^{T}}\) = 3
d) det (BA)= -6

14. Przy użyciu wyznacznika sprawdzić, czy układ wektorów ([1,4,0,1],[0,5,3,4],[3,0,0,2],[2,0,0,1]) jest bazą przestrzeni R.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&4&0&1\\0&5&3&4\\3&0&0&2\\2&0&0&1\end{array}\right] = 3*(-1) ^{2+3}\left[\begin{array}{ccc}1&4&1\\3&0&2\\2&0&1\end{array}\right] = (-3)(16-12) = -12 \neq 0}\) układ nie jest bazą

15. Niech A in K ^{n,n}. Podać 3 warunki równoważne warunkowi: macierz A jest odwracalna.
- AB=BA
- AB=I
- istnieje macierz odwrotna

16. Wyznaczyć jądro przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi: \mathbb{R} ^{3}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow \mathbb{R} ^{2}}\) danego wzorem \(\displaystyle{ \varphi([x,y,x]) = [x+y,z]}\). Czy \(\displaystyle{ \varphi}\) jest monomorfizmem ?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \in ker f \Leftrightarrow}\) f(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]}\)) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y = 0 \\ z=0 \end{cases}}\)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \begin{cases}x= -y \\ y\\ z=0 \end{cases}}\)
zatem
ker f {\(\displaystyle{ \begin{cases} -y \\y\\z\end{cases}}\)} = {y \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right]}\) y \(\displaystyle{ \in}\) R} = lin ((\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right]}\)
f nie jest monomorfizmem

17. W zależności od parametru a \(\displaystyle{ \in}\) R wyznaczyć liczbę rozwiązań układu równań.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+ay+2z=a \\ x+y+z=2\\ ax+2y+2z=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&a&2\\1&1&1\\a&2&2\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ 4+4+a ^{2} - 2a -4 -2a= 4 +a ^{2} -4a}\) \(\displaystyle{ a \neq 1}\) dokładnie 1 rozwiązanie

18. Co można powiedzieć o rozwiązaniach układu równań liiniowych U o pięciu niewiadomych, gdy r(A) = 4 a r(Au) 5 ?
- U ma więcej niż 1 rozwiązanie i U jest sprzeczny

19. Wyznaczyć macierz przekształcenia\(\displaystyle{ \varphi}\) z zadania 16 w bazach ([1,0,1],[-1,-1,0],[0,0,2]), ([1,0],[1,1]).

f (\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]}\)) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x+y\\z\end{array}\right]}\)
A=(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]}\))
B=(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\))
A(f,A,B) ?

f(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]}\)) = (\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]}\)) = 1(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]}\)) + 0(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\-1\\0\end{array}\right]}\)) + 0 (\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right]}\))

f(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\)) = (\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\1\\1\end{array}\right]}\)) = 1(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]}\)) + 0(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\-1\\0\end{array}\right]}\)) + 1(\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right]}\))
M(f,A,B) = (\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&0\\0&1\end{array}\right]}\))

20. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A = (\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-1&2&1\\1&0&2\end{array}\right]}\)).

det A = 1-4+2 = -1
A \(\displaystyle{ ^{-1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{-1}}\) ??

wynik: \(\displaystyle{ \frac{1}{-1}}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&-3\\2&1&1\\-3&2&2\end{array}\right]}\)


Wiem, że tego dużo ale mógłby ktoś mi to sprawdzić ?? i ewentualnie poprawić ?? PROSZĘ}\)
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: argv »

8) Uloz wektory z lin wierszami w macierz -> sprowadz do postaci schodkowej -> niezerowe wiersze to wektory bazy -> wymiar = ilosc wektorow w bazie
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: Kamil_B »

3b)to jest sprzężenie ?:P jeśli tak to odp to po prostu :\(\displaystyle{ 3+5i}\)
4)może chodziło o zaznaczenie a nie wyznaczenie ?
7)rozważ np. wektory v_{1}=[1,3,1,0] v_{2}=[2,3,4,0] i skorzystaj z definicji podprzestrzeni liniowej
9)ok
10)Zamiana dwóch wierszy/kolumn zmienia znak wyznacznika na przeciwny.Pomnozenie wiersza przez stałą powoduje,że wartość wyznacznika też jest mnożony przez tą stałą.
14)Co wynika z tego że wyznacznik macierzy zbudowanaj z tych wektorów jest rózny od zera?
18)Popatrz na tw Croneckera-Kapellego
meaner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielece

Poprawa egzaminu

Post autor: meaner »

argv - czyli muszę doprowadzić do samych zer tylko 1 na przecięciu. (Ps. operujemy na wierszach ?)

Kamil_B -
3b) niewiem może i to jest sprzężenie :]
4) tak zaznaczenie
7) nadal nic nie rozumiem :]
9) cieszę się
10) czyli wynik będzie 6 ??
14) tam jest błąd układ oczywiście jest bazą (jeśli wyznacznik jest różny od 0 to układ jest bazą a jeśli jest 0 to układ nie jest bazą ??)

Dzięki za Odp
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: Kamil_B »

4)Czyli wystarczy zaznaczyc tą liczbę zespoloną na płaszczyznie zespolonej.
7)\(\displaystyle{ v_{1}=[1,3,1,0] \in U}\) oraz \(\displaystyle{ v_{2}=[2,3,4,0] \in U}\) ale \(\displaystyle{ (v_{1} + v_{2}) \notin U}\)
10)a ile wynosi tak wogóle \(\displaystyle{ det A}\) ? ( swoją drogą \(\displaystyle{ detB=(-3)(-1)detA=3detA}\))
14)tak
Ostatnio zmieniony 16 sie 2009, o 19:22 przez Kamil_B, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: argv »

argv - czyli muszę doprowadzić do samych zer tylko 1 na przecięciu. (Ps. operujemy na wierszach ?)
Do schodkowej zredukowanej (z wiodacymi jedynkami) nie musisz, wystarczy sama schodkowa

-- 16 sie 2009, o 19:43 --

19 - cos mi sie znaki nie zgadzaja ... ja odwracanie macierzy znam takie:

1) do macierzy z prawej strony dopisujesz macierz jednostkowa
2) sprowadzasz lewa strone(czyli macierz oryginalna) do macierzy jednostkowej op. elementarnymi
3) prawa strona to macierz odwrotna

Mi wyszlo:

\(\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix} -4&2&3\\-3&2&2\\2&-1&-1\end{bmatrix}}\)
meaner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielece

Poprawa egzaminu

Post autor: meaner »

a co z pozostałymi zadaniami ??
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: argv »

17. W zależności od parametru a in R wyznaczyć liczbę rozwiązań układu równań.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+ay+2z=a \\ x+y+z=2\\ ax+2y+2z=2 \end{cases}

\left|\begin{array}{ccc}2&a&2\\1&1&1\\a&2&2\end{array}\right| = 4+4+a ^{2} - 2a -4 -2a= 4 +a ^{2} -4a a \neq 1}\)
dokładnie 1 rozwiązanie
\(\displaystyle{ detA = a^{2}-4a+4 = (a-2)^{2}}\)

1) Uklad ma 1 rozwiazanie wtw gdy \(\displaystyle{ detA \neq 0}\) czyli \(\displaystyle{ a \neq 2}\)

2) Gdy \(\displaystyle{ a=2}\) to podstaw za a=2 do ukladu rownan i sprawdz z Tw. Kroneckera-Capelliego
meaner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielece

Poprawa egzaminu

Post autor: meaner »

Kamil_B W 10 zadaniu Det A = 2

To 4 będzie wyglądać mniej więcej tak : ??
AU
AU
68a48fe145d85e1a.jpg (1.6 KiB) Przejrzano 205 razy
a co z zadaniami 1,2,3,11,12,13,15,16,18,19 ???

Dzięki wielkie za odpowiedzi
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: Kamil_B »

1)wynik jest ok
4)tak
10)zatem \(\displaystyle{ detB=6}\)
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: argv »

18. Co można powiedzieć o rozwiązaniach układu równań liiniowych U o pięciu niewiadomych, gdy r(A) = 4 a r(Au) 5 ?
- U ma więcej niż 1 rozwiązanie i U jest sprzeczny
Sprzeczny i ma wiecej niz 1 rozwiazanie naraz ? . Kamil_B poradzil zebys zajrzal do Tw K-C - zajrzyj i ustal ktora polowa tego co napisales jest dobrze
15. Niech A in K ^{n,n}. Podać 3 warunki równoważne warunkowi: macierz A jest odwracalna.
- AB=BA
- AB=I
- istnieje macierz odwrotna
Powinno byc bardziej ze istnieje taka macierz odwrotna \(\displaystyle{ B=A^{-1}}\), ze AB=I oraz AB=BA=I bo nie napisales co za B tylko sie tak pojawilo

A troche innych warunkow rownowaznych:
A jest odwracalna
- \(\displaystyle{ detA \neq 0}\)
- A jest nieosobliwa
- wiersze/kolumny A sa liniowo niezalezne
- wiersze/kolumny A tworza baze przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}}\)
- odwzorowanie z \(\displaystyle{ R^{n} \rightarrow R^{n}}\) okreslone przez A jest roznowartosciowe i "na"
- 0 nie jest wartoscia wlasna macierzy

16. Ja zapisuje to troche inaczej, ale wyniki mi wyszly takie same wiec powinno byc ok
meaner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 23 sty 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielece

Poprawa egzaminu

Post autor: meaner »

wielkie dzięki,
2,3,5,6,12,13 są dobre ?
a co z 11 i 19 ??
Awatar użytkownika
Sparrow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 13 sie 2009, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Poprawa egzaminu

Post autor: Sparrow »

2 ZADANIE:


a) 2x=1

2x=1
x= \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Więc w kolumnie "2" szukamy "1" i patrzymy na lewo, wynik to 3 a nie 8... jak w Z5 wynik może wynosić 8?? jak jest tylko 0,1,2,3 i 4

My do tego mieliśmy takie specjalne tabelki nie wiem czy ty takie miałeś... jak tak to mój zapis na pewno zrozumiałeś, a jak nie to pewno masło maślane.

jak co to tutaj masz ta tabelke (może Ci się przyda):



b) x^2=2 w Z7

Wyniki sa dwa: Albo x=3 albo x=4. Dlaczego? Ściągnij moją tabelkę. "Delty" w naszym "Z7" to liczby na skos od 0/0 do 6/6 więc tam szukamy naszej dwójeczki. Występuje ona w kolumnach 3 i 4 więc sa dwa wyniki.



3 ZADANIE:

a)
Taka mała poprawka. Bo tam gdzie masz arctg(-i/-1) we wzorze powinno być arctg (-1/-1) z tego co mi wiadomo. Bo to chodzi o współczynnik przy naszym "i" a nie dokładnie o "i". Czepiam sie ale -i można brać za błędny zapis.

b)
\(\displaystyle{ \overline{3-5i}}\) = (3-5i)(3+5i)=9+15i-15i+25=34 (bo to sprzężenie jest)


5 ZADANIE:

b) We wzorze zamiast "n" tez powinno być 5. Wiec powinno być:

\(\displaystyle{ z= |z|(cos \alpha + isin \alpha )
wk= \sqrt[5]{|z|}(cos \frac{ \alpha +2k \pi}{5} + isin \frac{ \alpha + 2k \pi}{5} )}\)




11 ZADANIE:

\(\displaystyle{ 2 ^{1006}(cos 503\pi + isin 503\pi) = 2 ^{1006}i}\) ŹLE

\(\displaystyle{ 2 ^{1006}(cos 503\pi + isin 503\pi) = -2 ^{1006}}\) dlaczego? Dlatego że:
\(\displaystyle{ 2 ^{1006}(cos 503\pi + isin 503\pi)}\) = \(\displaystyle{ 2 ^{1006}(cos pi + isin pi) = 2 ^{1006}(-1 + 0i) =- 2 ^{1006}}\)



Pozdro
qmpel7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 31 sie 2009, o 00:21
Płeć: Mężczyzna

Poprawa egzaminu

Post autor: qmpel7 »

3. Wyznaczyć
a) Arg (-1-i) = można szerzej opisać ten przykład? Jakie czynności się tu wykonuje? Jeśli stosuje się jakieś wzory to prosilbym o podanie go -- 2 wrz 2009, o 20:53 --
Kamil_B pisze: 7)\(\displaystyle{ v_{1}=[1,3,1,0] \in U}\) oraz \(\displaystyle{ v_{2}=[2,3,4,0] \in U}\) ale \(\displaystyle{ (v_{1} + v_{2}) \notin U}\)
dlaczego \(\displaystyle{ (v_{1} + v_{2}) \notin U}\) ??
Lokaty Lokacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 16 lis 2008, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bestwina
Podziękował: 7 razy

Poprawa egzaminu

Post autor: Lokaty Lokacz »

Mówiąc prosto, ponieważ w miejscu gdzie powinna być 3 jest 6 tyle. Po prostu tam ma być stała niezmienna czyli w tym wypadku 3.
ODPOWIEDZ