Arg. Zadania z egzaminu ze studiów

[Sparrow]

Witam.

Tak sie składa że oblałem pierwszy egzamin z Algebry. Mam wszystkie pytania a poprawkowy egzamin z algebry to praktycznie ten sam egzamin co pierwszy tylko pozmieniane liczby np z 2 na 3 i tyle wiec próbuje teraz rozwiązać każde zadanie po kolei z tamtego egzaminu. A to pytania których niebardzo rozumiem... (z liczb zespolonych):

Wyznaczyć:
a) \(\displaystyle{ Arg(-1-i)}\)

b) \(\displaystyle{ 3-5i}\)

Uzupełnić:
a) \(\displaystyle{ Arg( z_{1} z_{2})=}\)

No i nie wiem jak za to sie zabrać. Arg... tak jest to argument na wiki: ale nie wiem ogóle jak sie za to zabrać więc prosze o pomoc co poprawka sie zbliża dużymi krokami

pozdrawiam

[Yaco_89]

Wyjaśnię to na przykładzie a). Masz liczbę z=(-1-i). Część rzeczywista Re(z)-1, część urojona Im(z)=-1. Teraz liczysz Arg z ze wzoru \(\displaystyle{ Arg(z)=arctg( \frac{Im(z)}{Re(z)})=arctg(1)= \frac{\pi}{4} \vee \frac{5\pi}{4}}\) ale jak narysujesz sobie tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej to widzisz, że poprawny jest drugi wynik. Zajrzyj do książki T.Jurlewicz i Z.Skoczylasa "Algebra liniowa 1" a nie powinieneś mieć problemu z tego typu zadaniami.

PS
\(\displaystyle{ Arg( z_{1}z_{2})=Arg(z _{1})+Arg(z _{2} )}\)

[Sparrow]

Yaco dzięki ale chyba popełniłeś błąd:

Część rzeczywista Re(z)-1, część urojona Im(z)=-1 (nie -1 tylko -i z tego co mi sie zdaje).

A co do wzoru:

Arg(z)=arctg( \(\displaystyle{ \frac{Im (z)}{Re (z)}}\) )

to mamy potem:

arctg ( \(\displaystyle{ \frac{-i}{-1}}\) )

i teraz żeby nam te "i" zniknęło możemy podnieść do kwadratu licznik i mianownik? Jeżeli tak to wyszło by nam:

arctg ( \(\displaystyle{ \frac{1}{1}}\) ) = arctg(1)

Czyli w sumie tak samo jak tobie tylko chciałem zobaczyć czy dobre mam myślenie jak to zrobić?


PS. \(\displaystyle{ Arg( z_{1}z_{2})=Arg(z _{1})+Arg(z _{2} )}\) i to wszystko ?

[Yaco_89]

Nie, nie. Częścią urojoną nazywamy współczynnik stojący przy i, więc mój sposób był poprawny.

[czeslaw]

( \(\displaystyle{ \arc \tg \frac{-i}{-1}}\) )

Jak podniesiesz taki ułamek do kwadratu to wyjdzie po pierwsze \(\displaystyle{ \arc \tg (-1)}\), a po drugie to będzie kwadrat tego co masz otrzymać, więc musiałbyś to jeszcze spierwiastkować. Nie można podnosić do kwadratu tylko dlatego, że wynik się zgadza...

[mcbob]

Dla liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=a+bi}\) argument możesz sobie też łatwo wyznaczyć w ten sposób że:
1) liczysz moduł
2) zapisujesz że \(\displaystyle{ \sin\phi= \frac{b}{ \left|z \right| }}\) i \(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{a}{ \left|z \right| }}\)
3) i wyznaczasz odpowiedni kąt

[Sparrow]

mvbob dzięki za zainteresowanie ale jak zacząłem rozkminiać jeden sposób to trzymam sie jednego bo potem będę miał mętlik
\(\displaystyle{ arctg(1)}\) jak sie to oblicza?

To znaczy tak. Patrze sobie na \(\displaystyle{ ctg(1)}\) i mam że jest to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). a arctg to jest funkcja odwrotna do ctg z tego co wiem. A to oznacza że jest to albo te 45stopni, albo 180+45=225. Dobrze kojarzę?

[czeslaw]

Tak, tylko że \(\displaystyle{ y = \arc \tg x}\) (jako funkcja) przyjmuje tylko jedną wartość dla każdego argumentu, to znaczy że dla 1 może przyjąć tylko wartość 45 stopni, 225 już nie.

[Kamil_B]

a arctg to jest funkcja odwrotna do ctg z tego co wiem.

arctg jest funkcją odwrotną do tg.

[czeslaw]

Zgadza się, nie zauważyłem tego. Wartości to nie zmienia.

[qmpel7]

to oznacza że jest to albo te 45stopni, albo 180+45=225. Dobrze kojarzę?

w celu upewnienia

180+45=225 napisales na podstawie znaku stojącego przy 1 tak? jest on dodatni a wiec moze byc w III cwiartce czyli 180+45? no albo w I gdzie wszystkie funkcje sa dodatnie czyli 45. dobrze mysle?

co w przypadku gdyby wynik nam wyszedł -1? [ tzn arctg(-1)=? ]

[mcbob]

Aby rozwiać wątpliwości:
arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale \(\displaystyle{ (- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})}\) tzn. że jest funkcją rosnącą, dziedziną jest \(\displaystyle{ R}\), a zbiorem wartości \(\displaystyle{ (- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})}\)

[madzia333]

co w przypadku gdyby wynik nam wyszedł -1? [ tzn arctg(-1)=? ]

Otrzymałbyś kąt , czyli argument \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi}\) lub \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\) (II lub IV ćw.) w zależności od znaku \(\displaystyle{ im(z)}\)czy \(\displaystyle{ re(z)}\) ( która z nich jest ujemna?)

[qmpel7]

możesz rozpatrzyc oba przypadki

w jednym ujemna niech bedzie im(z)

w drugim re(z)

mozesz bardziej rozwinac to jak doszlas do tych wynikow.. jeden widze ze z tabeli wart funkcji trygonom. a ten drugi?

[madzia333]

Z okresowości tangensa. Szukam dla jakiego kąta tg wynosi np. -1 i znajduję \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi}\), (II ćw.-gdy gdy b>0, a<0) lub \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi}\)+\(\displaystyle{ \pi}\)(IVćw.-gdy b<0, a>0)