Podstawmy \(\displaystyle{ t = iz}\) (zauważmy, że \(\displaystyle{ |z| = |t|}\)) i przemnóżmy stronami przez \(\displaystyle{ -1.}\)
Dostajemy: \(\displaystyle{ 11t^{10} - 10t^{9} - 10t + 11 = 0,}\)
dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ t^{5}}\) (\(\displaystyle{ t = 0}\) nie jest rozwiązaniem): \(\displaystyle{ 11t^{5} - 10t^{4} - 10t^{-4} + 11t^{-5} = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ t_{0}}\) będzie rozwiązaniem tego równania.
Mamy \(\displaystyle{ t^{-1}_{0} = \tfrac{\overline{t_{0}}}{|t_{0}|^{2}}.}\)
Stąd \(\displaystyle{ t_{0} + t_{0}^{-1}\in [-2,2]\iff|t_{0}| = 1.}\)
(implikacja w lewo natychmiastowa;
w prawo:
-jeśli \(\displaystyle{ t_{0}\in \mathbb{R}}\) to \(\displaystyle{ |t_{0} + t_{0}^{-1}|\ge 2}\) i równość zachodzi wtw gdy \(\displaystyle{ |t_{0}| = 1}\)
-jeśli \(\displaystyle{ t_{0}\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R},}\) to z wypisanej równości \(\displaystyle{ t_{0} + t_{0}^{-1}\in \mathbb{R}\iff |t_{0}| = 1}\))
Korzystając z wzoru dwumiennego Newtona przekształcamy nasze ostatnie równanie do równania wielomianowego podstawiając \(\displaystyle{ w = t + t^{-1}}\): \(\displaystyle{ p(w):=11w^{5} -10w^{4} - 55w^{3} + 40w^{2} +55w -20 = 0}\)
Policzmy teraz, że: \(\displaystyle{ p(-2) <0\\
p(-\sqrt{2}) > 0\\
p(0) <0\\
p(1)>0\\
p(3/2) < 0\\
p(2)>0}\)
Z tw Darboux mamy 5 pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ p}\) w przedziale \(\displaystyle{ [-2,2].}\)
Ponieważ są to wszystkie zespolone pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ p,}\) to wobec poprzedniej uwagi kończy to dowód.
Swoją drogą zadanie z Putnama młodszego ode mnie, więc jeszcze nie takiego starego:)
Zaraz przeanalizuję Twoje rozwiązanie, moje wygląda tak ( mam nadzieję, że nie zrobiłem jakiś prostych błędów, bo rozwiązania strasznie krótkie wyszło ):
Ukryta treść:
Jeśli \(\displaystyle{ z\in \mathbb{C}}\) spełnia równanie, to \(\displaystyle{ \left| z\right|^9 \ \left| 11z + 10i\right| = \left|11 -10iz \right|}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ z=a+ib}\) załóżmy, że \(\displaystyle{ \left|z \right| >1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left|11 -10iz \right|^2 > \left| 11z + 10i\right|^2}\) \(\displaystyle{ \left|11+10b-10ai \right|^2 > \left| 11a+i(11b+10) \right|^2}\) \(\displaystyle{ 121+100b^2+220b+100a^2 > 121a^2+121b^2+100+220b}\) \(\displaystyle{ 1 > \left| z \right|}\)
sprzeczność. Analogicznie robimy to dla \(\displaystyle{ \left| z \right| <1}\).
Podoba mi się.
Miewam notoryczne problemy z liczeniem, ale wygląda ok.
Że krótkie wyszło to dobrze, właśnie takie zazwyczaj wychodzą rozwiązania zadań konkursowych jak się ma na nie odpowiedni pomysł;)
(no może nie wszystkie, ale te do zadań z putnamowej części A chyba tak)
Racja, skoro nie ma \(\displaystyle{ \left| z \right| >1}\), to nie może być też \(\displaystyle{ \left| z \right| <1}\). Chodziło mi tu chyba bardziej o założenie bez straty ogólności, że moduł jest mniejszy od jedności, ale nie ważne...
Dzięki za sprawdzenie i oczywiście za rozwiązanie maxa
Może jeszcze ktoś inny się pochwali rozwiązaniem...