Pierwiastki zespolone wielomianu

[feniks.g]

Mam taki prosty wielomian: \(\displaystyle{ r^{3}+8=0}\) i coś męczę się z obliczeniem pierwiastków zespolonych tego równania. Ma wyjść (oprócz r=-2) \(\displaystyle{ r=1+i \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ r=1-i \sqrt{3}}\). Jak to policzyć? Pewnie to jest śmiesznie proste ale coś na googlu nie mogłem znaleźć odpowiedniego info.

[miodzio1988]

Wzó de Moivre'a. \(\displaystyle{ \sqrt{-8}}\) - i liczysz.

[Brzytwa]

Jeśli jest tam \(\displaystyle{ r^{3}}\) to rozbij na 2 czynniki (z bezouta). Potem liczysz deltę i wychodzi.
Możesz również przenieść 8 na drugą stronę i liczyć pierwiastki z -8.

[feniks.g]

Wzó de Moivre'a. \(\displaystyle{ \sqrt{-8}}\) - i liczysz.

I dalej nie wiem o co chodzi. To co jest na stronie nic mi nie mówi.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ z ^{ \frac{1}{n} }=...}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{-8}= (-8)^{ \frac{1}{2} }}\)
Oczywiście musisz wiedzieć co to jest moduł itd

[feniks.g]

\(\displaystyle{ (-8)^{ \frac{1}{2} }=(|-8|(cosx + i*sinx)) ^{ \frac{1}{2} }}\) co mam z tym zrobić?
Na forum czy na google nie znalazłem nic ciekawego.

[miodzio1988]

Przykłady:
post396921.htm?hilit=pierwiastki%20liczby%20zespolonej#p396921
post373306.htm?hilit=pierwiastki%20liczby%20zespolonej#p373306

I zerknij na hasło "postać trygonometryczna liczby zespolonej"

[feniks.g]

Mając wielomian \(\displaystyle{ r^{3}+8=0}\) chciałem otrzymać pierwiastki \(\displaystyle{ r=1+i \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ r=1-i \sqrt{3}}\) (tj napisałem w pierwszym poście). Mnie chodziło raczej o jakąś prostszą metodę odnalezienia pierwiastków, niż korzystanie z jakiś wzorów de Moivre'a.

Zadanie rozwiązałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ r^{3}+8=0}\) ma na pewno pierwiastek \(\displaystyle{ r=-2}\)

\(\displaystyle{ (r^{3}+8):(r+2)=r ^{2}-2r+4}\)

\(\displaystyle{ r ^{2}-2r+4=0}\)

\(\displaystyle{ \bigtriangleup = -12}\)

\(\displaystyle{ r _{1} = -2}\)

\(\displaystyle{ r _{2,3} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}i }{2} = 1 \pm i\sqrt{-3}}\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ r _{1} = -2}\)

\(\displaystyle{ r _{2,3} = 1 \pm i\sqrt{-3}}\)

Żeby nie było, że "nie da się prościej" czyli tylko ze wzorów de Moivre'a.

[miodzio1988]

Jest ok. Fajnie, że teraz poprawiłeś pierwszy post

[feniks.g]

Jeśli jest tam \(\displaystyle{ r^{3}}\)

I tylko to zmieniłem, bo było wcześniej \(\displaystyle{ r^{2}}\). Daje to jakąś różnicę? Jeśli tak to przepraszam za pomyłkę i nie zaznaczenie jej (myślałem, że jest mało istotna), bo przez to dodatkowo straciłem swój i Twoj czas.
btw: w pierwszym poście podałem jako wynik 3 pierwiastki

[Brzytwa]

I tylko to zmieniłem, bo było wcześniej \(\displaystyle{ r^{2}}\). Daje to jakąś różnicę?

Wówczas wielomian jest inny, inne pierwiastki, inne własności. Ogólnie chyba ma znaczenie czy podnosisz liczbę do 2 potęgi czy do 3