nierówność Hlawka

[frej]

Coś choć trochę ciekawszego od zwykłych zadań z tego działu, mam nadzieję

\(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}}\)

Udowodnij, że

\(\displaystyle{ \boxed{\left| z_1+z_2 \right| + \left| z_2 + z_3 \right| + \left| z_3 + z_1 \right| \le \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| + \left| z_3 \right| + \left| z_1 + z_2 + z_3 \right|}}\)

Miłej zabawy

[Maciej87]

Zdecydowanie powyżej poziomu mnożenia liczb zespolonych.
Hm. Zdradzisz czy jest efektywna interpretacja geometryczna?
Bo jak sądzę, na chama musi wyjść.

[frej]

Nie myślałem o interpretacji geometrycznej, ale mogę podać wskazówkę, która powinna chyba naprowadzić trochę

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ z \overline{z} = \left| z \right| ^2}\)
i nie bać się kwadratów

[Maciej87]

Nie waż mi się dawać wskazówki!
To ostateczność.
Właśnie przekształcam moduły przez sprzężenie.
Tylko komputer mi zero wyliczył
\(\displaystyle{ \left( a+b \right) \overline{ \left( a+b \right) } + \left( b+c
\right) \overline{\left( b+c \right)} + \left( c+a \right) \overline{ \left( c+a \right)} -a\overline{a} -b\overline{ b } -c\overline{c} -
\left( a+b+c \right) \overline{\left( a+b+c \right)}
= 0}\)
A.. już wiem. Głupi jestem. Liczę nie to co trzeba.
Tak w ciemno strzeliłem, ale może jakaś sensowna-seksowna interpretacja geometryczna jest

[frej]

Ok, ok nie będzie już żadnej wskazówki dla Ciebie:p Może jednak komuś innemu się przyda.

[xiikzodz]

W takim razie bez wskazówki

Ukryta treść:    

- po pierwszym znaku nierówności wszystkie czynniki wyrażenia są dodatnie z nierówności trójkąta:

\(\displaystyle{ 0\le}\)

\(\displaystyle{ (|x|+|z|-|x+z|)(|y|+|x+y+z|-|x+z|)\cdot}\)

\(\displaystyle{ \cdot(|x|+|y|-|x+y|)(|z|+|x+y+z|-|x+y|)\cdot}\)

\(\displaystyle{ \cdot(|y|+|z|-|y+z|)(|x|+|x+y+z|-|y+z|)}\)

\(\displaystyle{ =(|x+y+z|+|x|+|y|+|z|-|x+y|-|x+z|-|y+z|)\cdot(|x+y+z|+|x|+|y|+|z|)}\)

Jak widać zadziała dla wielu innych przestrzeni z normą. Trik nieco z kosmosu, ale tak naprawdę to tylko kosmetyczna wersja przeniesienia wszystkiego na prawo i podniesienia do kwadratu.

[frej]

xiikzodz jak zawsze niezawodna w takich sprawach

No to może pokażę jeszcze jedno rozwiązanie.

Ukryta treść:    

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy nierówność

\(\displaystyle{ \sum \left| z_1 + z_2 \right|^2 + 2\sum \left|(z_1 + z_2 )( z_2 + z_3 )\right| \le \left| z_1 + z_2 + z_3 \right|^2 + \sum \left| z_1 \right|^2 + 2\left| z_1 + z_2 + z_3 \right| \sum \left| z_1 \right| + 2\sum \left| z_1 z_2 \right|}\)

Łatwo sprawdzić, że

\(\displaystyle{ \left| z_1 + z_2 \right|^2 + \left| z_2 + z_3 \right|^2 + \left| z_3 + z_1 \right|^2 = \left| z_1 \right|^2 + \left| z_2 \right|^2 + \left| z_3 \right|^2 + \left| z_1 + z_2 + z_3 \right|^2}\)

Pozostaje więc wykazać, że

\(\displaystyle{ \sum \left| (z_1+z_2)(z_2 + z_3) \right| \le \sum \left( \left| z_1 + z_2 + z_3 \right| \cdot \left| z_2 \right| + \left| z_1 z_3 \right| \right)}\)

To jednak jest prawdą, gdyż

\(\displaystyle{ \left| (z_1+z_2)(z_2 + z_3 ) \right| = \left| z_2( z_1 + z_2 + z_3 ) + z_1 z_3 \right| \le \left| z_2 \right| \cdot \left| z_1+z_2+z_3 \right| + \left| z_1 z_3 \right|}\)

na mocy nierówności trójkąta.

[Maciej87]

Nie zdążyłem nad tym pokminić bo zająłem się ostatnim egzaminem. Na szczęście z bardzo dobrym skutkiem.
Bardzo fajne to zadanie.