Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej.
\(\displaystyle{ z ^{3} - \overline{z} ^{3} \in R}\)
Moja próba rozwiązania:
Rozpisujemy na \(\displaystyle{ z=x+iy}\), podnosimy do trzeciej, skracamy i porównujemy część urojoną do zera?
Jeśli tak, to wychodzi coś co prawda, ale troche to zagmatwane na płaszczyźnie. Jest ok?
\(\displaystyle{ y=0,
x \in R}\)
lub
\(\displaystyle{ y=-\sqrt{3} \cdot x \vee y=\sqrt{3} \cdot x}\)
Rozwiązaniem były by 2 proste przecinające się w zerze + oś Y.
\(\displaystyle{ |z + 1|-Im(z) \le 1}\)
Tego to już w ogóle nie wiem. Rozpisywałem na wszystkie sposoby i nie wiem. Chyba brakuje mi jakiegoś sposobu na to.
Przeszukałem sieć, ale znalazłem tylko to. 110890.htm Jednak jak się przyjrzeć to lepiej się na tym nie wzorować
Z góry dzięki.
\(\displaystyle{ z ^{3} - \overline{z} ^{3} \in R}\)
Moja próba rozwiązania:
Rozpisujemy na \(\displaystyle{ z=x+iy}\), podnosimy do trzeciej, skracamy i porównujemy część urojoną do zera?
Jeśli tak, to wychodzi coś co prawda, ale troche to zagmatwane na płaszczyźnie. Jest ok?
\(\displaystyle{ y=0,
x \in R}\)
lub
\(\displaystyle{ y=-\sqrt{3} \cdot x \vee y=\sqrt{3} \cdot x}\)
Rozwiązaniem były by 2 proste przecinające się w zerze + oś Y.
\(\displaystyle{ |z + 1|-Im(z) \le 1}\)
Tego to już w ogóle nie wiem. Rozpisywałem na wszystkie sposoby i nie wiem. Chyba brakuje mi jakiegoś sposobu na to.
Przeszukałem sieć, ale znalazłem tylko to. 110890.htm Jednak jak się przyjrzeć to lepiej się na tym nie wzorować
Z góry dzięki.
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
1.
2.
\(\displaystyle{ (a+1)+bj \le (1 + b)^{2}}\)
było czymś masakrycznym do rozwiązania nawet przy niewielkich umiejętnościach obliczeniowych
Możesz ewentualnie na wektorach pokombinować, z tego co widzę, powinno jakoś wyjść jeżeli masz wyobraźnię 3D ;] . A odnośnie podstawiania to jeżeli ładnie i w uporządkowany sposób podstawisz to wyjdzie bardzo prosto i szybko się skróci.zewlak pisze:ale troche to zagmatwane na płaszczyźnie
2.
nie wydaje mi się, żeby równanie typu:zewlak pisze:Tego to już w ogóle nie wiem.
\(\displaystyle{ (a+1)+bj \le (1 + b)^{2}}\)
było czymś masakrycznym do rozwiązania nawet przy niewielkich umiejętnościach obliczeniowych
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Można też skorzystać z postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ z=r(cos x + i sin x )}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=r(cos (-x)+isin (-x)}\)
\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=r^3(cos 3x-cos(-3x)+i(sin 3x-sin(-3x))=2r^3 i sin3x}\)
bo sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.
\(\displaystyle{ z=r(cos x + i sin x )}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=r(cos (-x)+isin (-x)}\)
\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=r^3(cos 3x-cos(-3x)+i(sin 3x-sin(-3x))=2r^3 i sin3x}\)
bo sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Można, tylko troche ciężko zaznaczyć taką postać na płaszczyźniefrej pisze:Można też skorzystać z postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ z=r(cos x + i sin x )}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=r(cos (-x)+isin (-x)}\)
\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=r^3(cos 3x-cos(-3x)+i(sin 3x-sin(-3x))=2r^3 i sin3x}\)
bo sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.
Bo kiedy \(\displaystyle{ 2r^3 i sin3x}\) będzie rzeczywiste? Jeśli sin=0, lub r=0 ? Na górze wyszło jakoś inaczej.
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Raczej nieciężko. \(\displaystyle{ r=0}\) to każdy umie
A kiedy \(\displaystyle{ sin 3\alpha =0}\)
Chyba się nigdzie nie pomyliłem...Może niech ktoś inny jeszcze to sprawdzi...
A kiedy \(\displaystyle{ sin 3\alpha =0}\)
Chyba się nigdzie nie pomyliłem...Może niech ktoś inny jeszcze to sprawdzi...
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
No r=0 to x=0 i y=0.
A sin3x=0 to k * pi/3 .
Ale nijak ma się to do mojego rozwiązania z góry. Tam wyszło coś zupełnie innego.
A sin3x=0 to k * pi/3 .
Ale nijak ma się to do mojego rozwiązania z góry. Tam wyszło coś zupełnie innego.
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Przykro mi, ale to Ty zrobiłeś błąd.
\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}\)
\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=x^3-3xy^2+i(y^3-3x^2y)}\)
Tak poza tym, liczby zespolone to nie tylko \(\displaystyle{ x+iy}\) są jeszcze inne własności. Np. takie:
\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=z^3-\overline{z^3}}\)
\(\displaystyle{ x-\overline{x}=2\Im(x)}\)
Można też liczbę zespoloną interpretować geometrycznie. Sprzężenie to nic innego jak symetria liczby względem osi \(\displaystyle{ OX}\). Czasami warto tak sobie to wyobrażać, łatwiej sprawdzić, czy nie pomyliło się w obliczeniach, jak wiadomo, co ma wyjść.
\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}\)
\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=x^3-3xy^2+i(y^3-3x^2y)}\)
Tak poza tym, liczby zespolone to nie tylko \(\displaystyle{ x+iy}\) są jeszcze inne własności. Np. takie:
\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=z^3-\overline{z^3}}\)
\(\displaystyle{ x-\overline{x}=2\Im(x)}\)
Można też liczbę zespoloną interpretować geometrycznie. Sprzężenie to nic innego jak symetria liczby względem osi \(\displaystyle{ OX}\). Czasami warto tak sobie to wyobrażać, łatwiej sprawdzić, czy nie pomyliło się w obliczeniach, jak wiadomo, co ma wyjść.
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Mi przecież wyszło to samo.frej pisze:Przykro mi, ale to Ty zrobiłeś błąd.
\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}\)
\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=x^3-3xy^2+i(y^3-3x^2y)}\)
Tak poza tym, liczby zespolone to nie tylko \(\displaystyle{ x+iy}\) są jeszcze inne własności. Np. takie:
Można też liczbę zespoloną interpretować geometrycznie. Sprzężenie to nic innego jak symetria liczby względem osi \(\displaystyle{ OX}\). Czasami warto tak sobie to wyobrażać, łatwiej sprawdzić, czy nie pomyliło się w obliczeniach, jak wiadomo, co ma wyjść.
\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}\)
\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=x^3-3xy^2+i(y^3-3x^2y)}\)
teraz odejmując od siebie części urojone i porównując je z zerem dostajemy:
\(\displaystyle{ (3x^2y-y^3)-(y^3-3x^2y)=0}\)
\(\displaystyle{ 6x^2y=2y^3}\)
\(\displaystyle{ 3x^2=y^2}\)
Pierwiastkujemy i dostajemy wynik, który nie pokrywa się nijak z wersją trygonometryczną.
No chyba, że znów coś przegapiłem?
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Ale ja jestem durny
Wyniki są takie same.
Przepraszam, że powiedziałem, że zrobiłeś źle. Masz dobrze, tylko prawie dobrze
Najpierw wersja trygonometryczna:
\(\displaystyle{ sin 3\alpha =0}\)
\(\displaystyle{ 3\alpha=k\pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha = k \frac{\pi}{3}}\)
Czyli rozwiązaniem są trzy proste nachylone do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 0^\circ , 60^\circ , 120^\circ}\)
Teraz rozwiązanie \(\displaystyle{ x+iy}\). Oczywiście dochodzimy do postaci
\(\displaystyle{ 3x^2 y=y^3}\)
\(\displaystyle{ y(\sqrt{3} x -y)(\sqrt{3}x + y)=0}\)
i wychodzi na to samo
Przez liczenie te bardziej "toporne" moim zdaniem uszło naszej uwadze rozwiązanie \(\displaystyle{ z\in \mathbb{R}}\), na szczęście w porę sobie o tym przypomnieliśmy
Wyniki są takie same.
Przepraszam, że powiedziałem, że zrobiłeś źle. Masz dobrze, tylko prawie dobrze
Najpierw wersja trygonometryczna:
\(\displaystyle{ sin 3\alpha =0}\)
\(\displaystyle{ 3\alpha=k\pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha = k \frac{\pi}{3}}\)
Czyli rozwiązaniem są trzy proste nachylone do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 0^\circ , 60^\circ , 120^\circ}\)
Teraz rozwiązanie \(\displaystyle{ x+iy}\). Oczywiście dochodzimy do postaci
\(\displaystyle{ 3x^2 y=y^3}\)
\(\displaystyle{ y(\sqrt{3} x -y)(\sqrt{3}x + y)=0}\)
i wychodzi na to samo
Przez liczenie te bardziej "toporne" moim zdaniem uszło naszej uwadze rozwiązanie \(\displaystyle{ z\in \mathbb{R}}\), na szczęście w porę sobie o tym przypomnieliśmy
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Wybaczcie, że się mieszam, ale skoro napisałeś już, że \(\displaystyle{ z^3 - \overline{z^3}=2i \cdot \Im(z^3)}\), a skądinąd wiemy, że \(\displaystyle{ z^3 - \overline{z^3} \in R}\), to \(\displaystyle{ z^3 \in R}\). Stąd już widać, gdzie są rozwiązania.