1. Rozwiąż równanie
a) \(\displaystyle{ (\overline{z}) ^{3} - i \overline{z} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ z^{4}= (1+2i)^{4}}\)
c) \(\displaystyle{ |z|z = iz^{2}}\)
d) \(\displaystyle{ (\overline{z}) ^{3} = (1-i)^{4}}\)
Klika równań
-
frej
Klika równań
1. \(\displaystyle{ \overline{z}=0 \; \vee \; \overline{z}^2=i}\)
drugi przypadek daje \(\displaystyle{ cos \frac{3\pi}{2}+i sin \frac{3\pi}{2}=-i=\overline{i}=\overline{(\overline{z}^2)}=z^2}\)
z de Moivre'a teraz
3. jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 0}\), załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{R} \ni \left| z\right| =iz}\)
4. Biorąc sprzężenie obu stron otrzymujemy
\(\displaystyle{ z^3=(1+i)^4}\)
Najpierw z de Moivre'a obliczysz \(\displaystyle{ (1+i)^4}\), a potem też z de Moivre'a napiszesz pierwiastki trzeciego stopnia z tej liczby.
-- 22 czerwca 2009, 16:29 --
2.
\(\displaystyle{ (z^2)^2=\left( (1+2i)^2\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ (z^2-(-3+4i))(z^2+(-3+4i))=0}\)
drugi przypadek daje \(\displaystyle{ cos \frac{3\pi}{2}+i sin \frac{3\pi}{2}=-i=\overline{i}=\overline{(\overline{z}^2)}=z^2}\)
z de Moivre'a teraz
3. jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 0}\), załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{R} \ni \left| z\right| =iz}\)
4. Biorąc sprzężenie obu stron otrzymujemy
\(\displaystyle{ z^3=(1+i)^4}\)
Najpierw z de Moivre'a obliczysz \(\displaystyle{ (1+i)^4}\), a potem też z de Moivre'a napiszesz pierwiastki trzeciego stopnia z tej liczby.
-- 22 czerwca 2009, 16:29 --
2.
\(\displaystyle{ (z^2)^2=\left( (1+2i)^2\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ (z^2-(-3+4i))(z^2+(-3+4i))=0}\)