Obliczyć moduł i argument liczby z + układ równań z parametr

tmk752 · Post autor: **tmk752** » 22 cze 2009, o 11:50

1 zadanie
\(\displaystyle{ z=(\sqrt{3}+i)^{9}*(1-i)^{5}}\)
Obliczyć moduł i argument liczby z

2 zadanie

Dla jakiej wartości parametru p układ równań jest sprzeczny?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + py - z = 1 \\ x + 10y - 6z= p \\ 2x - y + pz = 0 \end{cases}}\)

dzięki za pomoc

P.S. Drugie zadanie przeniosłem do działu Algebra Liniowa https://matematyka.pl/133739.htm

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2009, o 11:53

1) Wzór de Moivre'a znasz?
2)Wiesz co to jest macierz? To wrzuć to w macierz i jedziesz.

tmk752 · Post autor: **tmk752** » 22 cze 2009, o 12:49

Znam wzor moivera ale nie pasuja mi potegi w nim :/

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2009, o 12:53

W tym wzorze możesz wstawić dowolną potege. Co Ci nie pasuje? Tak konkretnie?

tmk752 · Post autor: **tmk752** » 22 cze 2009, o 13:23

czyli tak

obliczam moduł z z

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ (\sqrt({3})^{2}+1^{2})}* \sqrt{2}=2\sqrt{2}}\)

no i teraz grzezne poprostu umiem z liczby zespolonej ale nie z iloczynu chyba w tym tkwi problem. Bo wydaje mi sie ze powinien byc jakis szybki sposob bo tak to trzeba bedzie liczyc ze wzoru moivera osobno dla potegi
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i^{2})^{9}}\) a osobno dla \(\displaystyle{ (1-i)^{5}}\)
i potem to pomnożyć?

wogole to chyba źle mysle

-- 22 cze 2009, o 14:35 --

mógłby mi ktoś pomoc bo sam sobie napewno nie poradze ;(-- 22 cze 2009, o 20:24 --odświeżam temat bo potrzebuje pomocy z tym zadaniem

Neonix · Post autor: **Neonix** » 22 cze 2009, o 23:15

tmk752 pisze:czyli tak

obliczam moduł z z

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ (\sqrt({3})^{2}+1^{2})}* \sqrt{2}=2\sqrt{2}}\)

zle policzyłeś moduł pierwiastek z trzech do kwadratu to 3 plus 1 daje 4, a pierwiastek z 4 daje 2.

postać liczby zespolonej:
z=a+bi
moduł równa się:
\(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{ a^{2} + b ^{2} }}\)
np. moduł dla pierwszej liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{ 1^{2} + \sqrt{3} ^{2} } = 2}\)

następnie liczysz kąt czyli argument
\(\displaystyle{ cos(f)=\frac{a}{\left| z \right|}}\)
\(\displaystyle{ sin(f) =\frac{b}{\left| z \right|}}\)
sprawdzasz, z której ćwiatki jest kąt (na chopski rozum pierwszej wszystkie są dodatkie w drugiej tylko sinus trzeciej tangen i cotagens, a w czwartej kosinus)
I y=f
II y=pi-f
III y=pi+f
IV y=2pi-f

następnie podstawiasz do wzoru:
z= |z|*(cos(f)+i*sin(f))

Pół zdania masz następnie musisz podnieść do potęgi korzystając ze wzoru de Moivre'a. Polecam poszukać w googlach.

Dwa wzory które warto znać:
mnożenie: \(\displaystyle{ z_{1}*z_{2} = \left| z_{1} \right| \left| z_{2} \right| *(cos(f1+f2) + isin(f1+f2)}\)
dzielenie: \(\displaystyle{ \frac{ z_{1} }{ z_{2} } = \frac{ \left|z_{1} \right| }{ \left|z_{2} \right| } * (cos(f1-f2) + isin(f1-f2))}\)

mam nadzieje, że rozjaśniłem Ci zadanie. Pozdarawiam

tmk752 · Post autor: **tmk752** » 22 cze 2009, o 23:46

czyli już całe zadanie wykonane powinno być tak?

\(\displaystyle{ z=(\sqrt{3}+i)^{9}(1-i)^{5}}\)

\(\displaystyle{ z_{1}=(\sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ |z_{1}|=2}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow pi/6}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow pi/6}\)

\(\displaystyle{ |z|^{9}(cos \frac{pi}{6} + isin \frac{1}{2})^{9} = 512 (cos (9* \frac{pi}{6} + isin \frac{pi}{6} = 512 (cos \frac{3pi}{2} + isin \frac{3pi}{2})}\)

teraz drugi czynnik

\(\displaystyle{ z_{2}=(1-i)^{5}}\) dlatego że jest to kąt w czwartej ćwiartce trzeba bedzie dodadac do argumentów 270* = 3pi/2
\(\displaystyle{ |z_{2}|=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow =2pi}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = 2pi}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{5}(cos (10pi ) + i sin 10pi)}\)

Moduł \(\displaystyle{ |z|=512 * 5,656854249 \approx 2896,31}\)
Argumenty \(\displaystyle{ cos \alpha = 2 \frac{1}{6}pi}\)
\(\displaystyle{ isin \alpha = 2 \frac{1}{6}pi}\)

Jak pomyłka to pisać

Pozdrawiam i Dzieki

Neonix · Post autor: **Neonix** » 23 cze 2009, o 00:06

przed b drugim czyniku masz minus. Zwracaj na to uwage bo to ważne. Pierwiastek dwóch przez dwa to 45 stopni a nie 360.
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow = \frac{pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow = -\frac{pi}{4}}\)

cos dodatni sinus ujemny czyli ćwiartka IV: 2pi-pi/4= 7/4pi

tmk752 · Post autor: **tmk752** » 23 cze 2009, o 10:42

no ale ja już tego dodawania w drugim nie zapisywalem czyli \(\displaystyle{ pi/4 + 7/4 pi = 2 pi}\)
Jesli cos jest ujemny a sinus dodatni to we wzorze de moivera dodajemy argumenty o tych samych znakach chyba tak?
czyli do drugiego czynnika

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow = \frac{pi}{4} \vee -\frac{pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow = -\frac{pi}{4}}\)

zaznaczamy ze bierzemy do obu argumentów -pi/4
teraz juz sam nie wiem co wkladamy za argumenty pod ten wzor moivera, bo w zeszycie w innym przykladzie gdzie liczba
\(\displaystyle{ z = (1-i)^{100}}\)
ostatnia postac jest taka
\(\displaystyle{ =2^{50}cos(-25pi)+isin(-25pi)=}\)tego teraz nie rozumiem
\(\displaystyle{ =2^{50}(cospi + isinpi)}\) teraz z postaci Gaussa
\(\displaystyle{ 2^{50}(cospi + isinpi)=2^{50}(-1+0i)=-2^{50}}\)

Neonix · Post autor: **Neonix** » 23 cze 2009, o 11:06

tmk752 pisze:no ale ja już tego dodawania w drugim nie zapisywalem czyli \(\displaystyle{ pi/4 + 7/4 pi = 2 pi}\)

To nie dodawanie

po obliczeniu kąta f musisz sprzawdzić z której od jest ćwiartki. Dlatego odejmowałem od 2pi ponieważ chodzi o 4 ćwiartke.
\(\displaystyle{ f=2pi - pi/4 = 7/4pi}\)
czyli to 7/4pi jest twoim argumentem. To "wkładasz" za argument do wzoru de'Moivera.

-pi/4 nie wyszło Ci obu przypadkach tylko dla sinusa ponieważ b jest ujemne. Dla kosinusa masz wartość dodatnią.