Witam. Dana jest równość:
\(\displaystyle{ (z^{10}+1)(z^{5}-1)=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ z^{10}=-1}\) lub \(\displaystyle{ z^{5}=1}\)
I teraz mam wyznaczyć liczbę różnych pierwiastków zespolonych i rzeczywistych.
Z rozkładu na okręgu wynika, że dla \(\displaystyle{ z^{5}}\) pierwiastkiem rzeczywistym jest 1, a dla
\(\displaystyle{ z^{10}}\) pierwiastkiem rzeczywistym jest -1 i 1.
Nie wiem natomiast jak z pierwiastkami zespolonymi, bo niby dla \(\displaystyle{ z^{5}}\) rozkładają się one na okręgu co 72 stopnie, a dla \(\displaystyle{ z^{10}}\) co 36 stopni, co jest wielokrotnością 72, ale
\(\displaystyle{ z^{10}=-1}\)
\(\displaystyle{ z^{5}=1}\)
i w tej sytuacji nie wiem jak -1 uwzględnić.
Pierwiastki zespolone
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Pierwiastki zespolone
Jeśli \(\displaystyle{ z^5-1=0}\) to zachodzi \(\displaystyle{ z^{10}=1\not=-1}\).
Zatem oba czynniki nie mają wspólnych pierwiastków, co można też sprawdzić obliczając wspólny dzielnik wielomianów. Oba wielomiany mają pierwiastki tylko jednokrotne, więc wszystkich różnych jest dokładnie \(\displaystyle{ 15}\)
Zatem oba czynniki nie mają wspólnych pierwiastków, co można też sprawdzić obliczając wspólny dzielnik wielomianów. Oba wielomiany mają pierwiastki tylko jednokrotne, więc wszystkich różnych jest dokładnie \(\displaystyle{ 15}\)
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Pierwiastki zespolone
Nic takiego nie było. Przeczytaj uważnie
Maciej87 pisze:Jeśli \(\displaystyle{ z^5-1=0}\) to zachodzi \(\displaystyle{ z^{10}=1\not=-1}\)