Pierwiastki zespolone

[sers]

Witam. Dana jest równość:
\(\displaystyle{ (z^{10}+1)(z^{5}-1)=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ z^{10}=-1}\) lub \(\displaystyle{ z^{5}=1}\)

I teraz mam wyznaczyć liczbę różnych pierwiastków zespolonych i rzeczywistych.
Z rozkładu na okręgu wynika, że dla \(\displaystyle{ z^{5}}\) pierwiastkiem rzeczywistym jest 1, a dla
\(\displaystyle{ z^{10}}\) pierwiastkiem rzeczywistym jest -1 i 1.

Nie wiem natomiast jak z pierwiastkami zespolonymi, bo niby dla \(\displaystyle{ z^{5}}\) rozkładają się one na okręgu co 72 stopnie, a dla \(\displaystyle{ z^{10}}\) co 36 stopni, co jest wielokrotnością 72, ale
\(\displaystyle{ z^{10}=-1}\)
\(\displaystyle{ z^{5}=1}\)
i w tej sytuacji nie wiem jak -1 uwzględnić.

[Maciej87]

Jeśli \(\displaystyle{ z^5-1=0}\) to zachodzi \(\displaystyle{ z^{10}=1\not=-1}\).
Zatem oba czynniki nie mają wspólnych pierwiastków, co można też sprawdzić obliczając wspólny dzielnik wielomianów. Oba wielomiany mają pierwiastki tylko jednokrotne, więc wszystkich różnych jest dokładnie \(\displaystyle{ 15}\)

[sers]

Skąd ci się wzięło:
\(\displaystyle{ z^{10}=1 \neq -1}\)

skoro było
\(\displaystyle{ z^{10}=-1}\)
?

[Maciej87]

Nic takiego nie było. Przeczytaj uważnie

Jeśli \(\displaystyle{ z^5-1=0}\) to zachodzi \(\displaystyle{ z^{10}=1\not=-1}\)