narysować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 15 cze 2009, o 17:51

\(\displaystyle{ z=z^{-2}}\)
może mi ktoś pokazać jak to zrobić? i mam chyba skorzystać z postawi wykładniczej.

tkrass · Post autor: **tkrass** » 15 cze 2009, o 18:05

niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ a+bi= \frac{1}{a^2 - b^2 + 2abi}}\)
\(\displaystyle{ a^3 - ab^2 + 2a^{2} bi+a^{2}bi -b^{3}i -2ab^2=1}\)

Przyrównujesz części rzeczywiste i urojone, tak więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3 -3ab^2=1 \\ 3a^{2}b - b^3=0 \end{cases}}\)

taki układ już sam rozwiążesz?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 15 cze 2009, o 20:44

tak ja wiem
chodziło mi o taką postać
\(\displaystyle{ z=re^{i \phi}}\)
i doszedłem do postaci \(\displaystyle{ re^{-i3\phi}=1}\) i jak to narysować?

frej · Post autor: **frej** » 15 cze 2009, o 22:52

Mnożąc przez \(\displaystyle{ z^2}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ z^3=1}\) czyli pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 15 cze 2009, o 23:16

no właśnie nie bardzo, bo widzę jakąś koniunkcję r=1 i \(\displaystyle{ -3\phi=2k \pi}\) i nie wiem za bardzo skąd?

frej · Post autor: **frej** » 16 cze 2009, o 08:27

\(\displaystyle{ z=z^{-2}}\)
\(\displaystyle{ z^3=1}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 16 cze 2009, o 09:36

no ale skąd nagle zeszliśmy z wykładnika do normalnego równania? możesz mi to napisać?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 cze 2009, o 10:36

Pomnożyć stronami przez z^2?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 16 cze 2009, o 11:11

\(\displaystyle{ re^{-i3\phi}=1}\) to?
mam tak napisane :
\(\displaystyle{ re^{-i3\phi}=1 <=> r=1 i -3\phi=2k \pi}\)
to, że mozna policzyć pierwsiastki z jedynki to rozumiem.