W ciele \(\displaystyle{ C}\) rozwiązać równianie:
\(\displaystyle{ z^{2}-(3-2i)z+(5-5i)=0}\)
Wdzięczna za pomoc,
ANiA
równanie liczb zespolonych 2
równanie liczb zespolonych 2
problem w tym że \(\displaystyle{ \Delta=8i-15}\) i już dalej nie wiem co z tym zrobić.. pomocy
ANiA
ANiA
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
równanie liczb zespolonych 2
Wystarczy, że znajdziesz przykładowy pierwiastek z delty (są tylko dwa pierwiastki i jeden jest liczbą przeciwną do drugiego, więc wszystko jedno, który wykorzystasz do obliczeń).
Tu raczej nie warto korzystać z postaci trygonometrycznej i twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej, lepiej użyć postaci algebraicznej: szukamy pierwiastka z wyróżnika, czyli takiej liczby \(\displaystyle{ z=a+bi}\), że \(\displaystyle{ z^{2}=-15+8i}\)
Warunek ten zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=-15+8i}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=-15+8i}\)
Korzystając z kryterium równości liczb zespolonych (\(\displaystyle{ z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow Re(z_{1})=Re(z_{2}) \wedge Im(z_{1})=Im(z_{2})}\)), otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}-b^{2}=-15 \\ ab=4 \end{cases}}\)
Bierzesz jedno z rozwiązań tego układu, czyli np. \(\displaystyle{ a=1,b=4}\) i do dalszych obliczeń przyjmujesz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1+4i}\)
Tu raczej nie warto korzystać z postaci trygonometrycznej i twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej, lepiej użyć postaci algebraicznej: szukamy pierwiastka z wyróżnika, czyli takiej liczby \(\displaystyle{ z=a+bi}\), że \(\displaystyle{ z^{2}=-15+8i}\)
Warunek ten zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=-15+8i}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=-15+8i}\)
Korzystając z kryterium równości liczb zespolonych (\(\displaystyle{ z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow Re(z_{1})=Re(z_{2}) \wedge Im(z_{1})=Im(z_{2})}\)), otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}-b^{2}=-15 \\ ab=4 \end{cases}}\)
Bierzesz jedno z rozwiązań tego układu, czyli np. \(\displaystyle{ a=1,b=4}\) i do dalszych obliczeń przyjmujesz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1+4i}\)