Korzystając (lub nie) z geometrycznej interpretacji zbioru \(\displaystyle{ \{ z \in \mathbb{C}: |z-a|=|z-b|, a,b \in \mathbb{C}\}}\) rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ (z-1)^n=(z+1)^n}\).
Wiem, że ten zbiór zawiera punkty leżące na symetrycznej odcinka łączącego punkt a z punktem b. W tym przypadku punkt (1,0) i (-1,0). Tylko nie wiem jak to wykorzystać, aby rozwiązać zadanko...
Równanie - korzystanie z interpretacji geometrycznej
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Równanie - korzystanie z interpretacji geometrycznej
Pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ (z+1)^{n}-(z-1)^{n}}\) leżą na prostej \(\displaystyle{ |z+1|=|z-1|}\),
to znaczy na prostej urojonej.
Ja sam by jednak nie dusił więcej geometrycznych obserwacji, tylko zrobił tak:
równanie jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ w^{n}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ w=\frac{z-1}{z+1}}\),
rozwiązanie jest więc prościutkie- bierzemy pierwiastki z jedynki i obkładamy homografią odwrotną do \(\displaystyle{ w}\).
Uwaga: w homografii odwrotnej punkt \(\displaystyle{ w=1}\) przechodzi na \(\displaystyle{ z=\infty}\),
zatem rozwiązań \(\displaystyle{ z}\) będzie nie \(\displaystyle{ n}\) ale dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\), tak jak wynika ze stopnia równania.
to znaczy na prostej urojonej.
Ja sam by jednak nie dusił więcej geometrycznych obserwacji, tylko zrobił tak:
równanie jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ w^{n}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ w=\frac{z-1}{z+1}}\),
rozwiązanie jest więc prościutkie- bierzemy pierwiastki z jedynki i obkładamy homografią odwrotną do \(\displaystyle{ w}\).
Uwaga: w homografii odwrotnej punkt \(\displaystyle{ w=1}\) przechodzi na \(\displaystyle{ z=\infty}\),
zatem rozwiązań \(\displaystyle{ z}\) będzie nie \(\displaystyle{ n}\) ale dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\), tak jak wynika ze stopnia równania.