Postać trygonometryczna liczby zespolonej

[rookie]

Witam. Nie mogę zrozumieć jak mam znaleźć rozwiązanie.Chce obliczyć ile wynosi wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) ale nie wiem jak mam odczytać to na wykresie
np. dla \(\displaystyle{ 1-i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2},
cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} ,
sin \alpha = -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ \alpha \in < \frac{3}{2}\Pi, 2\Pi>}\)

ale jaka będzie wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) i jak dojść do tego.

Z drugiej strony np dla \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{1}{2} \alpha = \frac{\Pi}{3}}\)
Tutaj właśnie nie wiedziałbym jak to obliczyć. Bo z wykresu sinusa z cosinusem nie da się powiększyć tak aby na osi y była taka wartość którą łatwo dałoby się przenieść na linii cosinusa i sinusa i wskazać dany kąt (pomijając punkty 1;-1;0)

[czeslaw]

Trochę nie mogę zrozumieć w czym masz problem... Trygonometria? Odczytanie, dla jakiego kąta jego sinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) a cosinus jest liczbą przeciwną ? Dla 315 stopni, czyli \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8}}\).

Wszystkich kątów nie odczytasz w ten sposób, ale są pewne specyficzne kąty o specyficznych wartościach, jednym z nich jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i z niego skorzystałem. Poczytaj też o wzorach redukcyjnych.

Wybacz, ale po prostu trochę mnie dziwi, że z tym masz kłopot. Biorąc się za liczby zespolone (bądź co bądź, algebrę pozalicealną), powinieneś raczej śmigać w tak prostych zadaniach jak odczytanie kąta z wykresy funkcji trygonometrycznych... Proponuję najpierw w tym temacie się doszkolić.

[in2o]

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2}, cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} , sin \alpha = -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\) Tu jest błąd.

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a}{|z|} sin \alpha = \frac{b}{|z|}}\) Czyli powinno być:

\(\displaystyle{ cos = \frac{1}{ \sqrt{2} } sin = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
I dalej wiemy, że cos i sin dla tych kątów wynosi 45 stopni. Obydwie wartości są dodatnie - a więc występują w pierwszej ćwiartce (pi/2)
\(\displaystyle{ \alpha = cos \frac{\pi}{2}+ isin \frac{\pi}{2}}\)

[blipek]

tam nie ma błędu!

jeśli \(\displaystyle{ z=1-j}\), to
\(\displaystyle{ \left|z \right|= \sqrt{2}, cos \alpha =\frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

wiadomo, że cosinus jest dodatni, sinus jest ujemny więc \(\displaystyle{ \alpha}\) jest katem z czwartej cwiartki
zatem \(\displaystyle{ \alpha \in <\frac{3\pi}{2};2\pi>}\)
wszystko sie zgadza...

teraz tylko pomyslec nad wzorami redukcyjnymi i od razu wiadomo jakim katem jest \(\displaystyle{ \alpha}\)

[in2o]

faktycznie, moja wina. coś mózg mi już siada od tych zespolonych po prostu...