wzory na pierwiastki

[Szyszka``]

Potrzebuję wzory na pierwiastki stopnia 3,4,5,9,17 (chodzi tu oczywiście w liczbach zespolonych)
A także konstrukcje pięciokata foremnego, też w zespolonych....
Nie umiem sobie z tym poradzić.
Byla bym bardzo wdzięczna za wszelaką pomoc..

[BettyBoo]

Wzór jest ogólny dla pierwiastka dowolnego stopnia :

jeśli \(\displaystyle{ z=r(cos\alpha+isin\alpha)}\), to

\(\displaystyle{ \sqrt[n]z\in\{\sqrt[n]{r}(cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{n}),\quad k=0,1,...,n-1\}}\).


Pozdrawiam.

[Szyszka``]

To wiem że jest taki wzór, tylko że ja jakoś nie moge obliczyć tego... nie wiem co i jak-- 9 cze 2009, o 21:12 --czyli np dla stopna 3 byl by wzór taki:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{z}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{r}}\)(\(\displaystyle{ \cos}\)\(\displaystyle{ \frac{\alpha+4\pi}{3}}\)+\(\displaystyle{ \isin}\)\(\displaystyle{ \frac{\alpha+4\pi}{3}}\))

[spajder]

Tak. Jak masz np. liczbę zespoloną \(\displaystyle{ 12\left(\cos{\frac{3\pi}{11}}+i\sin\frac{3\pi}{11}}\right)}\) to pierwiastki tej liczby to:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{12}\left(\cos{\frac{\frac{3\pi}{11}+2k\pi}{3}}+i\sin{\frac{\frac{3\pi}{11}+2k\pi}{3}}\right)}\)

[Szyszka``]

Aha dziekuje;)

Mam jeszcze jedno pytanie odnośnie tego. Bo w przykladzie który podaleś jest 2k\(\displaystyle{ \pi}\), a jak mamy pierwiastek stopnia 3 to wtedy to będzie równe 4\(\displaystyle{ \pi}\)?

[BettyBoo]

Aha dziekuje;)

Mam jeszcze jedno pytanie odnośnie tego. Bo w przykladzie który podaleś jest 2k\(\displaystyle{ \pi}\), a jak mamy pierwiastek stopnia 3 to wtedy to będzie równe 4\(\displaystyle{ \pi}\)?

Nie.
Przeczytaj jeszcze raz wzór, który Ci napisałam. W liczbach zespolonych jest dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z każdej liczby z wyjątkiem zera. Tak więc są 3 pierwiastki stopnia 3, aby je znaleźć, za k przyjmujesz kolejno 0,1 i 2.

Pozdrawiam.

[Szyszka``]

No to ja już nic nie wiem. No bo ja nie mam obliczać nic tylko napisać wzór... nie mam nic podanego oprócz tych stopni...

[BettyBoo]

Czego nie rozumiesz?
Jeśli to pytanie teoretyczne i żadnych konkretnych danych nie ma, to zapisz po prostu wzór dla n=3 i gotowe:

\(\displaystyle{ z=r(cos\alpha+isin\alpha) \ \Rightarrow \ \sqrt[3]z\in\{\sqrt[3]{r}(cos\frac{\alpha+2k\pi}{3}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{3}),\quad k=0,1,2\}}\)

Pozdrawiam.

[Szyszka``]

rozumiem wszystko, tylko chcialam sie zapytać jak to zapisać, bo myślalam ze to trzeba jakos jeszcze wyprowadzać.... i mam nadzieje że wykladowcy o to chodzi....
Dzięki za wszelaką pomoc

A czy odnośnie konstrukcji pięciokąta foremnego, móglby mi ktoś pomóc? Tylko nie za pomocą cyrkla i linijki bo to umiem...-- 11 cze 2009, o 17:59 --To jednak nie o to chodzi... Bo trzeba samemu napisać wzór.... Nie wiem,.. Może ma ktoś jakis pomysl co do tego?