\(\displaystyle{ z^3-1=0}\)
\(\displaystyle{ z^3+8=0}\)
\(\displaystyle{ z^2+(1+4i)z-(5+i)=0}\)
\(\displaystyle{ z^4-2*z^2+4=0}\)
Prosiłbym o rozpisanie z komentarzem jak wykonać te zadania. Sam przeanalizuję metody i wzory.
Równania liczb zespolonych.
-
desertangel
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 5 maja 2008, o 15:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gumiland
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równania liczb zespolonych.
1)\(\displaystyle{ z^{3}-1=0}\)
\(\displaystyle{ (z-1)(z^{2}+z+1)=0}\)
a)\(\displaystyle{ z-1=0}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=1}\)
b)\(\displaystyle{ z^{2}+z+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1-4=-3=3i^{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\)
2)\(\displaystyle{ z^{3}+8=0}\)
\(\displaystyle{ (z+2)(z^{2}-2z+4)=0}\)
a)\(\displaystyle{ z+2=0}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=-2}\)
b)\(\displaystyle{ z^{2}-2z+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-16=-12=-12i^{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2}=1-i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=\frac{2+2i\sqrt{3}}{2}=1+i\sqrt{3}}\)
3) \(\displaystyle{ z^{2}+(1+4i)z-(5+i)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = (1+4i)^{2}+4(5+i)=5+12i}\)
Teraz wystarczy znaleźć jeden z pierwiastków z wyróżnika:
\(\displaystyle{ 5+12i=z^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=5+12i}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=5+12i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}-b^{2}=5\\ ab=6 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=3 \\ b_{1}=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2}=3 \\ b_{2}=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \pm (3+2i)}\) (wybieramy jeden)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-1-4i+3+2i}{2}=\frac{-2i+2}{2}=1-i}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-1-4i-3-2i}{2}=\frac{-6i-4}{2}=-2-3i}\)
4) \(\displaystyle{ z^{4}-2z^{2}+4=0}\)
niech \(\displaystyle{ z^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2z^{2}+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-16=-12=12i^{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=1-i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=1+i\sqrt{3}}\)
Pozostają do rozwiązania dwa równania:
\(\displaystyle{ z^{2}=1-\sqrt{3}}\)
oraz
\(\displaystyle{ z^{2}=1+\sqrt{3}}\),
które sprowadzają się do znalezienia pierwiastków z liczb \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\) - można to zrobić tak jak w punkcie 3 układem równań, albo zamienić na postać trygonometryczną i skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ (z-1)(z^{2}+z+1)=0}\)
a)\(\displaystyle{ z-1=0}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=1}\)
b)\(\displaystyle{ z^{2}+z+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1-4=-3=3i^{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\)
2)\(\displaystyle{ z^{3}+8=0}\)
\(\displaystyle{ (z+2)(z^{2}-2z+4)=0}\)
a)\(\displaystyle{ z+2=0}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=-2}\)
b)\(\displaystyle{ z^{2}-2z+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-16=-12=-12i^{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2}=1-i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=\frac{2+2i\sqrt{3}}{2}=1+i\sqrt{3}}\)
3) \(\displaystyle{ z^{2}+(1+4i)z-(5+i)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = (1+4i)^{2}+4(5+i)=5+12i}\)
Teraz wystarczy znaleźć jeden z pierwiastków z wyróżnika:
\(\displaystyle{ 5+12i=z^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=5+12i}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=5+12i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}-b^{2}=5\\ ab=6 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=3 \\ b_{1}=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2}=3 \\ b_{2}=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \pm (3+2i)}\) (wybieramy jeden)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-1-4i+3+2i}{2}=\frac{-2i+2}{2}=1-i}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-1-4i-3-2i}{2}=\frac{-6i-4}{2}=-2-3i}\)
4) \(\displaystyle{ z^{4}-2z^{2}+4=0}\)
niech \(\displaystyle{ z^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2z^{2}+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-16=-12=12i^{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=1-i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=1+i\sqrt{3}}\)
Pozostają do rozwiązania dwa równania:
\(\displaystyle{ z^{2}=1-\sqrt{3}}\)
oraz
\(\displaystyle{ z^{2}=1+\sqrt{3}}\),
które sprowadzają się do znalezienia pierwiastków z liczb \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\) - można to zrobić tak jak w punkcie 3 układem równań, albo zamienić na postać trygonometryczną i skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej.