rozwiaż rownanie

[fooxes]

\(\displaystyle{ z^{3} -(4+i)z ^{2}+(6+2i)z-4-2i=0}\)
Wiedząc, że jeden z pierwiastków ma moduł równy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i argument równy
\(\displaystyle{ \frac{pi}{4}}\) , zaś drugi jest do niego sprzężony.


ps: kompletnie nie wiem jak się do tego zabrac.

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ z^{3} -(4+i)z ^{2}+(6+2i)z-4-2i=0}\)
Wiedząc, że jeden z pierwiastków ma moduł równy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i argument równy
\(\displaystyle{ \frac{pi}{4}}\) , zaś drugi jest do niego sprzężony.


ps: kompletnie nie wiem jak się do tego zabrac.

To oznacza, ze jeden pierwiastek ma postać \(\displaystyle{ \sqrt{2}(cos \frac{\pi}{4}+isin \frac{\pi}{4})=1+i}\), a drugi ma postać 1-i. Ponieważ są to pierwiastki, to z tw Bezout podany wielomian dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ (z-1-i)(z-1+i)=(z-1)^2+1=z^2-2z+2}\). Podziel wyjściowy wielomian przez ten i otrzymasz wielomian stopnia 1, z którego wynika trzecie rozwiązanie tego równania.

Pozdrawiam.

[fooxes]

\(\displaystyle{ \frac{z^{3} -(4+i)z ^{2}+(6+2i)z-4-2i}{ z^{2}-2z+2 } =}\)
\(\displaystyle{ -5z^{2}-3+2iz-8i}\)
czy tak to ma wyglądać?

[BettyBoo]

No nie bardzo - jak dzielisz wielomian stopnia 3 przez wielomian stopnia 2, to wynik jest wielomianem stopnia 1 I nie mam pojęcia, skąd Ci się wziął taki współczynnik przy \(\displaystyle{ z^2}\)....


\(\displaystyle{ \frac{z^{3} -(4+i)z ^{2}+(6+2i)z-4-2i}{ z^{2}-2z+2 } =z-2-i}\)

a więc trzecim pierwiastkiem jest 2+i.

Pozdrawiam