udowodnij, ze dla dowolnych liczb zespolonych

[deiks]

Udowodnij, ze dla dowolnych liczb zespolonych z i u zachodzi rownosc
\(\displaystyle{ |z-u|^{2}=|z|^{2}-2Re \overline zu+|u|^{2}}\)

[6hokage]

Zapisz te liczby w postaci algebraicznej (czyli z=a+bi...........u=c+di) a wszystko samo wyjdzie.

[Maciej87]

Nie! Wszyscy na forum chcą liczyć we współrzędnych kartezjańskich
Ja odważę się być prekursorem nowej mody, jako fan liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ |a+b|^2=(a+b)\overline{(a+b)} = a\overline{a}+ a\overline{b} + \overline{a}b +b\overline{ b} =
|a|^2+a\overline{ b} + \overline{(a \overline{b} )}+|b|^2}\)
Ale wiemy że \(\displaystyle{ 2 \mbox{Re}\, z = z + \overline{z}}\) i podstawiamy \(\displaystyle{ z=a\overline{b}}\), koniec dowodu.

[6hokage]

Fajny dowód, tylko, że te wyprowadzenia to nie są powszechnie znane własności i je też trzeba udowodnić, a to juz wymaga odwołania się do np. postaci algebraicznej liczb zespolonych. Chyba, że nauczyciel nie uważa tego za konieczne.

[Maciej87]

Trochę racja.
Ale walczę z tym gdzie mogę, bo wkrótce nie będzie różnicy między tym działem a geometrią analityczną. .
To taka luźna uwaga. Postać kartezjańska jest ważna.
Spotykam tu czasem zadania dotyczące inwersji lub homografii. Niestety, zawsze sugerowaną metodą jest liczenie na pałę, i stąd moja frustracja.
Może trzeba by uzupełnić kompendium o kawałek porządnej, sotosowanej teorii liczb zespolonych.

[Rogal]

Nie ma sprawy - Kompendium czeka z otwartymi rękoma