liczby zespolone - równanie

[aliska]

rozwiaz: \(\displaystyle{ z ^{4}+11z+18=0}\)

móglby ktos dac jakas podpowiedz jak to rozwiazac?

[BettyBoo]

Nie wygląda na to, żeby dało się to sensownie rozwiązać jakąś metodą inną niż za pomocą wzorów na pierwiastki stopnia 4. Jesteś pewna, że tak właśnie wygląda ten wielomian?

Pozdrawiam.

[scyth]

Jest duże prawdopodobieństwo, że pewnie chodziło o \(\displaystyle{ z^4+11z^2+18=0}\) - wtedy wychodzą ładne cztery pierwiastki zespolone.

[Mariusz M]

rozwiaz: \(\displaystyle{ z ^{4}+11z+18=0}\)

móglby ktos dac jakas podpowiedz jak to rozwiazac?

Tu jest PDF w którym jest pokazane jak rozwiązywać takie równania

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

Równanie czwartego stopnia można rozwiązać w podobny sposób jak równanie trzeciego stopnia

Po pierwsze podstawiamy \(\displaystyle{ t=z+ \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)

aby sprowadzić równanie do postaci \(\displaystyle{ t^4+pt^2+qt+r=0}\)

Aby uzyskać wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia podstawiamy 2t=u+v+w
do równania pomnożonego przez 16 otrzymamy układ równań który łatwo może być sprowadzony do wzorów Viete'a dla równania trzeciego stopnia Na podstawie wzorów Viete'a układamy równanie rozwiązujące stopnia szóstego ale o parzystych wykładnikach które to łatwo redukuje się do równania trzeciego stopnia
Spośród sześciu pierwiastków równania rozwiązującego wybieramy takie trzy aby spełniony był układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^2+v^2+w^2=-2p \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2=p^2-4r \\uvw=-q \end{cases}}\)

Pierwiastki równania zredukowanego to

\(\displaystyle{ \begin{cases} t_{1}= \frac{u+v+w}{2} \\ t_{2}= \frac{u-v-w}{2}\\t_{3}= \frac{-u+v-w}{2} \\t_{4}= \frac{-u-v+w}{2} \end{cases}}\)

Równanie czwartego stopnia można rozwiązać jeszcze w nieco inny sposób

Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stronę równania
Sprowadzamy lewą stronę równania do postaci kwadratu zupełnego

podstawiając \(\displaystyle{ x=z+ \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)

lub dodając stronami odpowiedni wyraz
zgodnie ze wzoerm skróconego mnożena na kwadrat sumy

Teraz sprowadzamy prawą stronę równania do postaci kwadratu zupełnego
Załóżmy że lewą stronę sprowadziliśmy do postaci kwadratu zupełnego
używając podstawienia

Po tym podstawieniu otrzymamy \(\displaystyle{ x^4=-px^2-qx-r}\) (2)

Aby prawa strona była kwadratem zupełnym jej wyróżnik musi być równy zero
Aby tego dokonać wprowadzamy nową zmienną tak aby lewa strona nadal była
kwadratem zupełnym, następnie obliczamy wyróżnik prawej strony równania
i przyrównujemy go do zera

\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{y}{2} \right)^2= \left( y-p\right)x^2-qx+ \frac{y^2}{4}-r}\) (3)

\(\displaystyle{ q^2= \left( y-p\right) \left(y^2-4r \right)}\)

\(\displaystyle{ y^3-py^2-4ry+4pr-q^2=0}\) (4)

Bierzemy dowolny pierwiastek równania (4)
i wstawiamy go do równania (3)

Ponieważ obie strony równania (3) są teraz kwadratami zupełnymi
możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
aby otrzymać iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych