Wykres równania zespolonego

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Weq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 18 maja 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: Weq »

Mam następujący problem; chcę zrobić wykres takiej krzywej.
\(\displaystyle{ \left| \frac{12+6z+z^2}{12-6z+z^2} \right|=1}\)

1. Pytanie
Jeśli przejdę na z=x+iy to po usunięciu sprzężenia z mianownika wychodzi kosmiczny wielomian. Rozumiem, że ten wielomian trzeba przegrupować na postać w1 + w2*i i wtedy nasmarować wykres? Ma ktoś jakiś pomysł jak to przegrupowanie zrobić w maple, lub dowolnym innym programie? Czy w ogóle źle liczę?
Poza tym i tak będę musiał to policzyć "na kartce" więc chciałem się skonsultować, zanim zapiszę parę kartek A4.

2. Pytanie
Wyznaczyłem pierwiastki powyższego równania: \(\displaystyle{ 0, 2\sqrt{3}i , -2\sqrt{3}i}\), ale jako że leżą w jednej linii na płaszczyźnie Gaussa, to nie bardzo wiem co z tego wynika (spodziewałem się obszaru).
Źle czy dobrze?

Pozdrawiam,
Weq
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: BettyBoo »

Mam taką propozycję - zamiast tworzyć kosmiczne wielomiany, zapisz równanie w równoważnej postaci

\(\displaystyle{ |12+6z+z^2|^2=|12-6z+z^2|^2}\)

Jak teraz podstawisz z=x+iy, to się mnóóóóstwo poupraszcza. O ile mi się nie pomerdało, to całkiem ładnie wychodzi. Spróbuj

Pozdrawiam.
Weq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 18 maja 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: Weq »

Dzięki za wskazówkę.
Rozumiem, że moduły mogę opuścić, bo podnoszę do kwadratu?

Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 12x-3xy^2+x^3 + (3yx^2 -y^3 + 12y)j = 0}\)
Jeśli dobrze to nie bardzo widzę jak to zwizualizować, tym bardziej, ze nie ostała się żadna liczba całkowita... ?


Pozdrawiam,
Weq
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: BettyBoo »

Matko matko, skasuj zaraz to opuszczanie modułów, póki tego Twój algebraik nie widzi, bo się przekręci

Modułu w liczbach zespolonych się nie opuszcza, oblicza się go:

\(\displaystyle{ |x+iy|^2=x^2+y^2}\)

Oblicz to porządnie po kolei i nie oszukuj

Pozdrawiam.
Weq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 18 maja 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: Weq »

No, tak "shame on me"
Czyli to tak: ?
\(\displaystyle{ L = \left| 12+6z+z^2\right|^2 = \left| 12+6x+6yj+x^2-y^2\right|^2 = ((12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y)^2)^2}\)

\(\displaystyle{ P = \left| 12-6z+z^2\right|^2 = \left| 12-6x-6yj+x^2-y^2\right|^2 = ((12-6x+x^2-y^2)^2 + (-6y)^2)^2}\)

Wtedy L-P=0 wychodzi:
\(\displaystyle{ 1728x-72x^3y^2+72x^5-xy^6-3x^5 y^2+3 x^3 y^4+x^7+864x^3 = 0}\)
Tyle, że zniknęły urojone; to plusik
Ale pewnie znowu coś pomerdałem, bo rozumiem, że Tobie wyszło ładniej
Dzięki za cierpliwość.
Weq
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: BettyBoo »

A mówiłam, żeby po kolei liczyć i nie oszukiwać? A Ty znowu oszukujesz

\(\displaystyle{ 12+6z+z^2= 12+6x+6yj+x^2-y^2\right+\mathbf{2xyj}}\)

Po drugiej stronie analogicznie. Oblicz ładnie jeszcze raz

Pozdrawiam.
Weq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 18 maja 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: Weq »

No to wychodzi:
\(\displaystyle{ L = \left| 12+6z+z^2\right|^2 = \left| 12+6x+6yj+x^2 +2xyj -y^2\right|^2 = ((12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y+2xy)^2)^2}\)

W drugim tak samo (też z plusem);

Efekt: L-P =0 daje tak samo skomplikowany wielomian (inne współczynniki).
Ale nie będę już marnować Twojego czasu swoimi oszustwami.
Dzięki za dotychczasową pomoc,
Pozdrawiam,
Weq
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: BettyBoo »

Nerwusek.
Już wiem, gdzie się pomyliłeś - zrobiłeś sobie niepotrzebnie podwójny kwadrat, dlatego Ci jakieś koszmary wychodziły. Ma być:

\(\displaystyle{ L = (12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y+2xy)^2,\ P= (12-6x+x^2-y^2)^2 + (-6y+2xy)^2}\)

A teraz zrobimy taki myk:

\(\displaystyle{ L=((12+x^2-y^2)+6x)^2 + 36y^2+24xy^2+4x^2y^2=(12+x^2-y^2)^2+36x^2+12x(12+x^2-y^2)+36y^2+24xy^2+4x^2y^2}\)

Analogicznie

\(\displaystyle{ P=(12+x^2-y^2)^2+36x^2-12x(12+x^2-y^2)+36y^2-24xy^2+4x^2y^2}\)

Zatem L-P=0 ma po uproszczeniu postać

\(\displaystyle{ 24x(12+x^2+y^2)=0}\)

a ta równość jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x=0, czyli jest to oś Im.

Pozdrawiam.
Weq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 18 maja 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: Weq »

Rozumiem, że te kwadraty mogę opuścić bo mam moduł? A czemu je na wstępie dodałaś? Fakt, że się ładnie poskracało, tylko zastanawiam się jak zinterpretować wynik Ale to już jutro będę dumać.
Dzięki za pomoc.
Pozdrawiam,
Weq
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: BettyBoo »

Dodałam właśnie dlatego, żeby się uprościło - bo przecież \(\displaystyle{ |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}}\)

Jedynym warunkiem jest tutaj x=0, czyli y jest dowolny - a to oznacza, że liczby spełniające Twoje równanie są postaci \(\displaystyle{ z=yj,\ y\in R}\) - a więc te liczby tworzą oś urojoną.

Pozdrawiam.
Weq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 18 maja 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Wykres równania zespolonego

Post autor: Weq »

Dzięki za pomoc, podziałało. Obszar mi nie wyszedł dlatego, że to całe miało być <1 a nie =1, więc utrzymując znak nierówności wychodzi dla wszystkich x<0.
Super i dzięki
Pozdrawiam,
Weq
ODPOWIEDZ