Wykres równania zespolonego
Wykres równania zespolonego
Mam następujący problem; chcę zrobić wykres takiej krzywej.
\(\displaystyle{ \left| \frac{12+6z+z^2}{12-6z+z^2} \right|=1}\)
1. Pytanie
Jeśli przejdę na z=x+iy to po usunięciu sprzężenia z mianownika wychodzi kosmiczny wielomian. Rozumiem, że ten wielomian trzeba przegrupować na postać w1 + w2*i i wtedy nasmarować wykres? Ma ktoś jakiś pomysł jak to przegrupowanie zrobić w maple, lub dowolnym innym programie? Czy w ogóle źle liczę?
Poza tym i tak będę musiał to policzyć "na kartce" więc chciałem się skonsultować, zanim zapiszę parę kartek A4.
2. Pytanie
Wyznaczyłem pierwiastki powyższego równania: \(\displaystyle{ 0, 2\sqrt{3}i , -2\sqrt{3}i}\), ale jako że leżą w jednej linii na płaszczyźnie Gaussa, to nie bardzo wiem co z tego wynika (spodziewałem się obszaru).
Źle czy dobrze?
Pozdrawiam,
Weq
\(\displaystyle{ \left| \frac{12+6z+z^2}{12-6z+z^2} \right|=1}\)
1. Pytanie
Jeśli przejdę na z=x+iy to po usunięciu sprzężenia z mianownika wychodzi kosmiczny wielomian. Rozumiem, że ten wielomian trzeba przegrupować na postać w1 + w2*i i wtedy nasmarować wykres? Ma ktoś jakiś pomysł jak to przegrupowanie zrobić w maple, lub dowolnym innym programie? Czy w ogóle źle liczę?
Poza tym i tak będę musiał to policzyć "na kartce" więc chciałem się skonsultować, zanim zapiszę parę kartek A4.
2. Pytanie
Wyznaczyłem pierwiastki powyższego równania: \(\displaystyle{ 0, 2\sqrt{3}i , -2\sqrt{3}i}\), ale jako że leżą w jednej linii na płaszczyźnie Gaussa, to nie bardzo wiem co z tego wynika (spodziewałem się obszaru).
Źle czy dobrze?
Pozdrawiam,
Weq
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wykres równania zespolonego
Mam taką propozycję - zamiast tworzyć kosmiczne wielomiany, zapisz równanie w równoważnej postaci
\(\displaystyle{ |12+6z+z^2|^2=|12-6z+z^2|^2}\)
Jak teraz podstawisz z=x+iy, to się mnóóóóstwo poupraszcza. O ile mi się nie pomerdało, to całkiem ładnie wychodzi. Spróbuj
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ |12+6z+z^2|^2=|12-6z+z^2|^2}\)
Jak teraz podstawisz z=x+iy, to się mnóóóóstwo poupraszcza. O ile mi się nie pomerdało, to całkiem ładnie wychodzi. Spróbuj
Pozdrawiam.
Wykres równania zespolonego
Dzięki za wskazówkę.
Rozumiem, że moduły mogę opuścić, bo podnoszę do kwadratu?
Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 12x-3xy^2+x^3 + (3yx^2 -y^3 + 12y)j = 0}\)
Jeśli dobrze to nie bardzo widzę jak to zwizualizować, tym bardziej, ze nie ostała się żadna liczba całkowita... ?
Pozdrawiam,
Weq
Rozumiem, że moduły mogę opuścić, bo podnoszę do kwadratu?
Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 12x-3xy^2+x^3 + (3yx^2 -y^3 + 12y)j = 0}\)
Jeśli dobrze to nie bardzo widzę jak to zwizualizować, tym bardziej, ze nie ostała się żadna liczba całkowita... ?
Pozdrawiam,
Weq
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wykres równania zespolonego
Matko matko, skasuj zaraz to opuszczanie modułów, póki tego Twój algebraik nie widzi, bo się przekręci
Modułu w liczbach zespolonych się nie opuszcza, oblicza się go:
\(\displaystyle{ |x+iy|^2=x^2+y^2}\)
Oblicz to porządnie po kolei i nie oszukuj
Pozdrawiam.
Modułu w liczbach zespolonych się nie opuszcza, oblicza się go:
\(\displaystyle{ |x+iy|^2=x^2+y^2}\)
Oblicz to porządnie po kolei i nie oszukuj
Pozdrawiam.
Wykres równania zespolonego
No, tak "shame on me"
Czyli to tak: ?
\(\displaystyle{ L = \left| 12+6z+z^2\right|^2 = \left| 12+6x+6yj+x^2-y^2\right|^2 = ((12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y)^2)^2}\)
\(\displaystyle{ P = \left| 12-6z+z^2\right|^2 = \left| 12-6x-6yj+x^2-y^2\right|^2 = ((12-6x+x^2-y^2)^2 + (-6y)^2)^2}\)
Wtedy L-P=0 wychodzi:
\(\displaystyle{ 1728x-72x^3y^2+72x^5-xy^6-3x^5 y^2+3 x^3 y^4+x^7+864x^3 = 0}\)
Tyle, że zniknęły urojone; to plusik
Ale pewnie znowu coś pomerdałem, bo rozumiem, że Tobie wyszło ładniej
Dzięki za cierpliwość.
Weq
Czyli to tak: ?
\(\displaystyle{ L = \left| 12+6z+z^2\right|^2 = \left| 12+6x+6yj+x^2-y^2\right|^2 = ((12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y)^2)^2}\)
\(\displaystyle{ P = \left| 12-6z+z^2\right|^2 = \left| 12-6x-6yj+x^2-y^2\right|^2 = ((12-6x+x^2-y^2)^2 + (-6y)^2)^2}\)
Wtedy L-P=0 wychodzi:
\(\displaystyle{ 1728x-72x^3y^2+72x^5-xy^6-3x^5 y^2+3 x^3 y^4+x^7+864x^3 = 0}\)
Tyle, że zniknęły urojone; to plusik
Ale pewnie znowu coś pomerdałem, bo rozumiem, że Tobie wyszło ładniej
Dzięki za cierpliwość.
Weq
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wykres równania zespolonego
A mówiłam, żeby po kolei liczyć i nie oszukiwać? A Ty znowu oszukujesz
\(\displaystyle{ 12+6z+z^2= 12+6x+6yj+x^2-y^2\right+\mathbf{2xyj}}\)
Po drugiej stronie analogicznie. Oblicz ładnie jeszcze raz
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 12+6z+z^2= 12+6x+6yj+x^2-y^2\right+\mathbf{2xyj}}\)
Po drugiej stronie analogicznie. Oblicz ładnie jeszcze raz
Pozdrawiam.
Wykres równania zespolonego
No to wychodzi:
\(\displaystyle{ L = \left| 12+6z+z^2\right|^2 = \left| 12+6x+6yj+x^2 +2xyj -y^2\right|^2 = ((12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y+2xy)^2)^2}\)
W drugim tak samo (też z plusem);
Efekt: L-P =0 daje tak samo skomplikowany wielomian (inne współczynniki).
Ale nie będę już marnować Twojego czasu swoimi oszustwami.
Dzięki za dotychczasową pomoc,
Pozdrawiam,
Weq
\(\displaystyle{ L = \left| 12+6z+z^2\right|^2 = \left| 12+6x+6yj+x^2 +2xyj -y^2\right|^2 = ((12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y+2xy)^2)^2}\)
W drugim tak samo (też z plusem);
Efekt: L-P =0 daje tak samo skomplikowany wielomian (inne współczynniki).
Ale nie będę już marnować Twojego czasu swoimi oszustwami.
Dzięki za dotychczasową pomoc,
Pozdrawiam,
Weq
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wykres równania zespolonego
Nerwusek.
Już wiem, gdzie się pomyliłeś - zrobiłeś sobie niepotrzebnie podwójny kwadrat, dlatego Ci jakieś koszmary wychodziły. Ma być:
\(\displaystyle{ L = (12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y+2xy)^2,\ P= (12-6x+x^2-y^2)^2 + (-6y+2xy)^2}\)
A teraz zrobimy taki myk:
\(\displaystyle{ L=((12+x^2-y^2)+6x)^2 + 36y^2+24xy^2+4x^2y^2=(12+x^2-y^2)^2+36x^2+12x(12+x^2-y^2)+36y^2+24xy^2+4x^2y^2}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ P=(12+x^2-y^2)^2+36x^2-12x(12+x^2-y^2)+36y^2-24xy^2+4x^2y^2}\)
Zatem L-P=0 ma po uproszczeniu postać
\(\displaystyle{ 24x(12+x^2+y^2)=0}\)
a ta równość jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x=0, czyli jest to oś Im.
Pozdrawiam.
Już wiem, gdzie się pomyliłeś - zrobiłeś sobie niepotrzebnie podwójny kwadrat, dlatego Ci jakieś koszmary wychodziły. Ma być:
\(\displaystyle{ L = (12+6x+x^2-y^2)^2 + (6y+2xy)^2,\ P= (12-6x+x^2-y^2)^2 + (-6y+2xy)^2}\)
A teraz zrobimy taki myk:
\(\displaystyle{ L=((12+x^2-y^2)+6x)^2 + 36y^2+24xy^2+4x^2y^2=(12+x^2-y^2)^2+36x^2+12x(12+x^2-y^2)+36y^2+24xy^2+4x^2y^2}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ P=(12+x^2-y^2)^2+36x^2-12x(12+x^2-y^2)+36y^2-24xy^2+4x^2y^2}\)
Zatem L-P=0 ma po uproszczeniu postać
\(\displaystyle{ 24x(12+x^2+y^2)=0}\)
a ta równość jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x=0, czyli jest to oś Im.
Pozdrawiam.
Wykres równania zespolonego
Rozumiem, że te kwadraty mogę opuścić bo mam moduł? A czemu je na wstępie dodałaś? Fakt, że się ładnie poskracało, tylko zastanawiam się jak zinterpretować wynik Ale to już jutro będę dumać.
Dzięki za pomoc.
Pozdrawiam,
Weq
Dzięki za pomoc.
Pozdrawiam,
Weq
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wykres równania zespolonego
Dodałam właśnie dlatego, żeby się uprościło - bo przecież \(\displaystyle{ |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
Jedynym warunkiem jest tutaj x=0, czyli y jest dowolny - a to oznacza, że liczby spełniające Twoje równanie są postaci \(\displaystyle{ z=yj,\ y\in R}\) - a więc te liczby tworzą oś urojoną.
Pozdrawiam.
Jedynym warunkiem jest tutaj x=0, czyli y jest dowolny - a to oznacza, że liczby spełniające Twoje równanie są postaci \(\displaystyle{ z=yj,\ y\in R}\) - a więc te liczby tworzą oś urojoną.
Pozdrawiam.
Wykres równania zespolonego
Dzięki za pomoc, podziałało. Obszar mi nie wyszedł dlatego, że to całe miało być <1 a nie =1, więc utrzymując znak nierówności wychodzi dla wszystkich x<0.
Super i dzięki
Pozdrawiam,
Weq
Super i dzięki
Pozdrawiam,
Weq