Postać wykładnicza liczby zespolonej

[wojtek6214]

Mam za zadanie przedstawić liczbę zespoloną w postaci wykładniczej
a)
\(\displaystyle{ z= \frac{(1+i)^{2}e^{i \pi}}{(1-i)^{3}e^{- \frac{\pi}{4} i}}}\)

Sprzężenie ma wyjść niby \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) a mi jakoś nie chce wyjść, wgl liczba e nie skraca sie więc jakim cudem takie sprzęzenie?

b)
\(\displaystyle{ z= (\frac{1+i}{1+i \sqrt{3} })^{12}}\)

[BettyBoo]

a) policz argument każdej liczby (dwa są podane); argument szukanej liczny to będzie suma i różnica odpowiednich argumentów; moduł to będzie iloczyn i iloraz odpowiednich modułów
a co to niby to sprzężenie ma być?

\(\displaystyle{ arg(1+i)=\frac{\pi}{4},\ arg(1-i)=-\frac{\pi}{4},\ |1+i|=|1-i|=\sqrt{2}}\), a więc

\(\displaystyle{ arg(z)={2\frac{\pi}{4}+\pi-(3\frac{-\pi}{4}+\frac{-\pi}{4})}\)

\(\displaystyle{ |z|=\frac{\sqrt{2}^2\cdot 1}{\sqrt{2}^3\cdot 1}}\)


b) dla ilorazu moduł o iloraz modułów, argument to różnica argumentów - w ten sposób znajdziesz to w nawiasie; a potęgowanie to już zwykłe potęgowanie.

\(\displaystyle{ arg(1+i)=\frac{\pi}{4},\ arg(1+i\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},\ |1+i|=\sqrt{2},\ |1+i\sqrt{3}|=1}\),

a więc \(\displaystyle{ argz=12(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}),\ |z|=\left(\frac{\sqrt{2}}{1}}\right)^{12}}\)

Pozdrawiam.