analiza zespolona rozwiąz

[dagmaragaramaj]

zadanie1.
znaleźć obraz pasa \(\displaystyle{ 0< Im z < \frac{pi}{2}}\) przy odwzorowaniu \(\displaystyle{ w= e^{z}}\)

zadanie2.
wyznaczyc kola zbieznosci szeregow potegowych:
a)
\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=0} n^{2} (2n+1) (z-i)^{n}}\)

b)
\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{ e^{n}+3 ^{n} }{n} z^{n}}\)

zadanie 3.
wykazac ze dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2:

\(\displaystyle{ cos z_{1} - cos z_{2} = 2 sin \frac{z _{1}+ z_{2} }{2} sin \frac{ z_{2}- z_{1} }{2}}\)

[xiikzodz]

1. Niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\), \(\displaystyle{ b\in[0,\pi/2]}\). Mamy:

\(\displaystyle{ \exp(z)=\exp(a+bi)=\exp(a)\cdot\exp(bi)}\)

zatem szukanym obrazem są wszystkie liczby zespolone o argumencie należącym do zbioru \(\displaystyle{ [0,\pi/2]}\).

4. Lewa strona tożsamości do wykazania:

\(\displaystyle{ \cos z_1-\cos z_2=\frac{\exp(iz_1)+\exp(-iz_1)}{2}-\frac{\exp(iz_2)+\exp(-iz_2)}{2}}\).

Prawa strona:

\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{z _{1}+ z_{2} }{2} \sin \frac{ z_{2}- z_{1} }{2}=}\)

\(\displaystyle{ =2\cdot\left(\frac{\exp(i\cdot\frac{z_1+z_2}{2})-\exp(-i\cdot\frac{z_1+z_2}{2})}{2i}\right)\cdot\left(\frac{\exp(i\cdot\frac{z_1-z_2}{2})-\exp(-i\cdot\frac{z_1-z_2}{2})}{2i}\right)=}\)

Teraz wystarczy wymnożyć to wyrażenie powyżej:

\(\displaystyle{ =-\frac 12\cdot\left(\exp(iz_1)-\exp(iz_2)-\exp(-iz_2)+\exp(-iz_1)\right)}\)

i nietrudno się przekonać, że otrzymaliśmy lewą stronę.