analiza zespolona pierwiastki

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
qazwsx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 kwie 2009, o 21:07
Płeć: Kobieta

analiza zespolona pierwiastki

Post autor: qazwsx »

Znajdź wszystkie pierwiastki równania \(\displaystyle{ z^4+z^2+2=0}\). Proszę o konkretne rozwiązanie.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

analiza zespolona pierwiastki

Post autor: scyth »

Najpierw podstaw \(\displaystyle{ t=z^2}\) i policz pierwiaski jak z równania kwadratowego, a na koniec wróć z \(\displaystyle{ t}\) do \(\displaystyle{ z}\).
qazwsx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 kwie 2009, o 21:07
Płeć: Kobieta

analiza zespolona pierwiastki

Post autor: qazwsx »

ale możesz całkowicie rozwiązać to zadanie. Bo to wiem ale potem zaczynają się "schody"
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

analiza zespolona pierwiastki

Post autor: scyth »

ok, ale następnym razem ty pokażesz swoje rozwiązanie
\(\displaystyle{ t=z^2 \\
t^2+t+2=0 \\
\Delta=-7 \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-7}=i\sqrt{7}
t_1=\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}, \ t_2=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}}\)

Teraz pasowałoby te pierwiastki rozłożyć na postać trygonometryczną, ale nie wychodzi za bardzo jakiś "ładny" kąt, to trzeba inaczej:
\(\displaystyle{ z=x+iy \\
z^2=x^2-y^2+2ixy \\
\Rightarrow x^2-y^2+2ixy=\frac{-1-i\sqrt{7}}{2} \\
\begin{cases}
x^2-y^2=-\frac{1}{2} \\
2xy=-\frac{\sqrt{7}}{2}
\end{cases} \\
\begin{cases}
2x^2-2y^2+1=0 \\
y=-\frac{\sqrt{7}}{4x}
\end{cases} \\
\Rightarrow 2x^2-\frac{7}{8x^2}+1=0 \\
16x^4+8x^2-7=0}\)

Ostatnie równanie znów rozwiązujemy w ten sam sposób, z tym, że teraz wiemy, że \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), więc jest już łatwo. Wychodzi:
\(\displaystyle{ x=\pm \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}}\)
Jak już są współrzędne \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ y}\) możesz łatwo wyliczyć ze wzoru \(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{7}}{4x}}\) i gotowe! Masz pierwiaski dla \(\displaystyle{ t_1}\). To samo trzeba zrobić dla \(\displaystyle{ t_2}\).
ODPOWIEDZ