potęgowanie liczby i

[Michu72]

Witam!
Mam problem z obliczeniem wartości wyrażeń:
\(\displaystyle{ (-1)^{\pi}}\)=
\(\displaystyle{ (-1) ^{ \sqrt{2} }}\) =
\(\displaystyle{ i^{i}}\)=

Nie mam pomysłu na ich obliczenie, aby uzyskać sensowne rozwiązanie. Proszę o podpowiedź/wskazówki.

[scyth]

zastowuj twierdzenie de Moivre'a dla potęgowania liczb zespolonych.
Np.:
\(\displaystyle{ -1 = \cos \pi + i \sin \pi \\
(-1)^{\pi} = \cos \pi^2 + i \sin \pi^2}\)

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ i^i=e^{iLni}}\). Obliczasz i masz.

Pozdrawiam.

[Michu72]

Dzięki!
Do tego też doszedłem. Dlatego napisałem: "sensowne rozwiązanie", bo jak obliczyć sin lub cos \(\displaystyle{ \pi ^{2}}\), sin lub cos (\(\displaystyle{ \pi \cdot \sqrt{2}}\))
...lub najgorsze ile wynosi sin lub cos (ln i) ?

[BettyBoo]

Ale to sensowne wyniki są... nikt Ci nie każe liczyć wartości przecież
Co do trzeciego:

\(\displaystyle{ Ln(i)=ln|i|+iArg(i)=ln1+i\frac{\pi}{2}=i\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow \ i^i=e^{iLni}=e^\frac{-\pi}{2}}\)

Pozdrawiam.

[Michu72]

Co do ostatniego, doszedłem prostszą drogą:
\(\displaystyle{ i ^{i} = \left( e ^{ i\frac{\pi}{2} } \right) ^{i}}\)= \(\displaystyle{ e^{- \frac{\pi}{2} }}\)

ale rzeczywiście liczyłem na "konkretniejsze" ("ładniejsze") wyniki
Dziękuję!