Witam i mam wielka prosbe .
jak udowodnic ze relacja \(\displaystyle{ \le}\) liniowo porzadkuje zbior liczb zespolonych?
[a1+b1i]\(\displaystyle{ \le}\)[ a2+b2i] \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (a1<a2)\(\displaystyle{ \vee}\) ((a1=a2)\(\displaystyle{ \wedge}\)(b1\(\displaystyle{ \le}\) b2))
a1+b1i \(\displaystyle{ \in}\) C i a2+b2i\(\displaystyle{ \in}\) C
z gory bardzo serdecznie dziekuje za odpowiedz
zbzbiór liczb zespolonych jest zbiorem liniowo uporzadkowany
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
zbzbiór liczb zespolonych jest zbiorem liniowo uporzadkowany
Wystarczy pokazać z definicji, że relacja jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia - czyli, że jest porządkiem - a oprócz tego, że każde dwa elementy są ze sobą w relacji.
1) zwrotność jest oczywista bo \(\displaystyle{ a1=a1, b1\le b1}\)
2) Niech \(\displaystyle{ [a1+b1i]\le[ a2+b2i] \ \wedge\ [a2+b2i]\le[ a1+b1i]}\)
Wtedy \(\displaystyle{ [(a1<a2)\vee ((a1=a2)\wedge[(b1\le b2))]\ \wedge\ [(a2<a1)\vee ((a2=a1)\wedge(b2\le b1))]}\). Po rozpisaniu otrzymujemy, że tylko jeden człon może być prawdziwy, tzn \(\displaystyle{ ((a1=a2)\wedge(b1\le b2))\ \wedge\ ((a2=a1)\wedge(b2\le b1))}\), co daje \(\displaystyle{ a1+b1i= a2+b2i}\)
3) Niech \(\displaystyle{ [a1+b1i]\le[ a2+b2i]}\) oraz niech \(\displaystyle{ [a2+b2i]\le[ a3+b3i]}\)
Po rozpisaniu mamy \(\displaystyle{ [(a1<a2)\vee ((a1=a2)\wedge(b1\le b2))]\wedge [(a2<a3)\vee ((a2=a3)\wedge(b2\le b3))] \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a1<a2)\wedge (a2<a3)\vee (a1<a2)\wedge ((a2=a3)\wedge(b2\le b3)) \vee}\)
\(\displaystyle{ ((a1=a2)\wedge(b1\le b2))(a2<a3)\vee((a1=a2)\wedge(b1\le b2))\wedge ((a2=a3)\wedge(b2\le b3))}\)
Pierwszy składnik ma postać \(\displaystyle{ a1<a3}\) i wchłania kolejne dwa (ponieważ oprócz warunku a1<a3 mają jeszcze dodatkowe ograniczenie) . Ostatni składnik ma postać \(\displaystyle{ (a1=a3)\wedge (b1\le b3)}\), co daje ostatecznie \(\displaystyle{ [a1+b1i]\le[ a3+b3i]}\)
4) weźmy dowolne dwie liczby a+bi, c+di. Wtedy
\(\displaystyle{ (a<c)\vee (c<a)\vee ((a=c)\wedge(b\le d))\ \vee\ ((c=a)\wedge(d\le b))}\)
A to oznacza, że \(\displaystyle{ a+bi < c+di}\) lub \(\displaystyle{ c+di<a+bi}\)
Pozdrawiam.
1) zwrotność jest oczywista bo \(\displaystyle{ a1=a1, b1\le b1}\)
2) Niech \(\displaystyle{ [a1+b1i]\le[ a2+b2i] \ \wedge\ [a2+b2i]\le[ a1+b1i]}\)
Wtedy \(\displaystyle{ [(a1<a2)\vee ((a1=a2)\wedge[(b1\le b2))]\ \wedge\ [(a2<a1)\vee ((a2=a1)\wedge(b2\le b1))]}\). Po rozpisaniu otrzymujemy, że tylko jeden człon może być prawdziwy, tzn \(\displaystyle{ ((a1=a2)\wedge(b1\le b2))\ \wedge\ ((a2=a1)\wedge(b2\le b1))}\), co daje \(\displaystyle{ a1+b1i= a2+b2i}\)
3) Niech \(\displaystyle{ [a1+b1i]\le[ a2+b2i]}\) oraz niech \(\displaystyle{ [a2+b2i]\le[ a3+b3i]}\)
Po rozpisaniu mamy \(\displaystyle{ [(a1<a2)\vee ((a1=a2)\wedge(b1\le b2))]\wedge [(a2<a3)\vee ((a2=a3)\wedge(b2\le b3))] \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a1<a2)\wedge (a2<a3)\vee (a1<a2)\wedge ((a2=a3)\wedge(b2\le b3)) \vee}\)
\(\displaystyle{ ((a1=a2)\wedge(b1\le b2))(a2<a3)\vee((a1=a2)\wedge(b1\le b2))\wedge ((a2=a3)\wedge(b2\le b3))}\)
Pierwszy składnik ma postać \(\displaystyle{ a1<a3}\) i wchłania kolejne dwa (ponieważ oprócz warunku a1<a3 mają jeszcze dodatkowe ograniczenie) . Ostatni składnik ma postać \(\displaystyle{ (a1=a3)\wedge (b1\le b3)}\), co daje ostatecznie \(\displaystyle{ [a1+b1i]\le[ a3+b3i]}\)
4) weźmy dowolne dwie liczby a+bi, c+di. Wtedy
\(\displaystyle{ (a<c)\vee (c<a)\vee ((a=c)\wedge(b\le d))\ \vee\ ((c=a)\wedge(d\le b))}\)
A to oznacza, że \(\displaystyle{ a+bi < c+di}\) lub \(\displaystyle{ c+di<a+bi}\)
Pozdrawiam.
:D