Rozwiąż równanie

[Ośka]

Jakie jest rozwiązani takiego równania?....

\(\displaystyle{ (z-i)^2=i}\)

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\). Stąd \(\displaystyle{ (x+(y-1)i)^2=i}\), więc \(\displaystyle{ x^2-(y-1)^2+2x(y-1)i=i}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ x^2-(y-1)^2=0}\) oraz \(\displaystyle{ 2x(y-1)=1}\). Z pierwszej równości wynika, że \(\displaystyle{ x=y-1}\) lub \(\displaystyle{ x=1-y}\). W pierwszym przypadku, wstawiając do drugiego równania mamy \(\displaystyle{ 2(y-1)^2=1}\), co daje dwie wartości \(\displaystyle{ y}\).
W drugim przypadku dostajemy \(\displaystyle{ 2(1-y)(y-1)=1}\), tj. \(\displaystyle{ 2(y-1)^2=-1}\), co prowadzi do sprzeczności.
W konsekwencji dostajemy dwa rozwiązania danego równania.

[Ośka]

Czyli jak napisze tak:

\(\displaystyle{ W_1= \sqrt{2} +i \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ W_2=- \sqrt{2} -i \sqrt{2}}\)

To będzie dobrze.