analiza zespolona

[qazwsx]

Załóżmy, że funkcje \(\displaystyle{ u(x,y), v(x,y)}\) mają ciągłe pochodne drugiego rzędu i funkcja \(\displaystyle{ f(z)\equiv f(x+iy)= u(x,y) + i v(x,y)}\) jest holomorficzna na pewnym obszarze. Sprawdzić, że \(\displaystyle{ u''_{xx}+u''_{yy}=0}\) oraz \(\displaystyle{ v''_{xx}+v''_{yy}=0}\)

[BettyBoo]

Wystarczy zróżniczkować warunki Cauchy'Riemanna - pierwszy po x, drugi po y. Ponieważ pochodne drugiego rzędu części rzeczywistej i urojonej są ciągłe, to pochodne mieszane są równe i stąd masz pierwszą równość. Druga otrzymuje się różniczkując pierwszy warunek po y, a drugi po x.

Pozdrawiam.