Policzyć moduły liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
SZEKEL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 lut 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wałbrzych
Podziękował: 22 razy

Policzyć moduły liczb zespolonych

Post autor: SZEKEL »

Witam. Treść zadania identyczna jak w tytule, czyli policzyć moduły liczb zespolonych:

a) \(\displaystyle{ 5-5i \sqrt{3}}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-1}}\)

Wiem, że liczymy z wzoru \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ a^{2} + b^{2} }}\), tylko jak policzyć część \(\displaystyle{ 5i \sqrt{3}}\) z przykładu \(\displaystyle{ a}\) oraz co zrobić gdy pierwiastek jest stopnia 6??

Jeśli moje rozumowanie jest poprawne to w przykładzie a wynik powinien wyjść
a) \(\displaystyle{ \sqrt{5650}}\) ?????
b) \(\displaystyle{ \sqrt{1}}\)

Jeśli jestem w błędzie proszę o nakierowanie mnie na poprawne myślenie
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Policzyć moduły liczb zespolonych

Post autor: xiikzodz »

a) \(\displaystyle{ |5-5i\sqrt 3|=\sqrt{5^2+(5\sqrt 3)^2}=\sqrt{25+3\cdot 25}=\sqrt{100}=10}\)

b) Ogólnie, to jest dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\), zachodzi:

\(\displaystyle{ |z^n|=|z|^n}\)

bo

\(\displaystyle{ |z_1z_2|=|z_1||z_2|}\).

Stosujemy więc do \(\displaystyle{ |\sqrt[6]{-1}|}\), szukaną wartość bezwzględną oznaczmy \(\displaystyle{ r}\). Mamy:

\(\displaystyle{ r^6=|(\sqrt[6]{-1})|^6=|(\sqrt[6]{-1})^6|=|-1|=1}\)

Zatem \(\displaystyle{ r^6=1}\) skąd \(\displaystyle{ r=1}\), bo \(\displaystyle{ r}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Awatar użytkownika
SZEKEL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 lut 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wałbrzych
Podziękował: 22 razy

Policzyć moduły liczb zespolonych

Post autor: SZEKEL »

Czyli moduł z:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2+2i} = \sqrt{4} =2}\)

Czy tak??
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Policzyć moduły liczb zespolonych

Post autor: xiikzodz »

Niezupełnie.

Oznaczmy \(\displaystyle{ r=|\sqrt[3]{-2+2i}|}\). Mamy:

\(\displaystyle{ r^3=|\sqrt[3]{-2+2i}|^3=|(\sqrt[3]{-2+2i})^3|=|-2+2i|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8}\)

czyli \(\displaystyle{ r^3=\sqrt 8}\) skąd \(\displaystyle{ r=\sqrt[3]{\sqrt 8}=\sqrt{\sqrt[3] 8}=\sqrt 2}\).
ODPOWIEDZ