Witam. Treść zadania identyczna jak w tytule, czyli policzyć moduły liczb zespolonych:
a) \(\displaystyle{ 5-5i \sqrt{3}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-1}}\)
Wiem, że liczymy z wzoru \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ a^{2} + b^{2} }}\), tylko jak policzyć część \(\displaystyle{ 5i \sqrt{3}}\) z przykładu \(\displaystyle{ a}\) oraz co zrobić gdy pierwiastek jest stopnia 6??
Jeśli moje rozumowanie jest poprawne to w przykładzie a wynik powinien wyjść
a) \(\displaystyle{ \sqrt{5650}}\) ?????
b) \(\displaystyle{ \sqrt{1}}\)
Jeśli jestem w błędzie proszę o nakierowanie mnie na poprawne myślenie
Policzyć moduły liczb zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Policzyć moduły liczb zespolonych
a) \(\displaystyle{ |5-5i\sqrt 3|=\sqrt{5^2+(5\sqrt 3)^2}=\sqrt{25+3\cdot 25}=\sqrt{100}=10}\)
b) Ogólnie, to jest dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\), zachodzi:
\(\displaystyle{ |z^n|=|z|^n}\)
bo
\(\displaystyle{ |z_1z_2|=|z_1||z_2|}\).
Stosujemy więc do \(\displaystyle{ |\sqrt[6]{-1}|}\), szukaną wartość bezwzględną oznaczmy \(\displaystyle{ r}\). Mamy:
\(\displaystyle{ r^6=|(\sqrt[6]{-1})|^6=|(\sqrt[6]{-1})^6|=|-1|=1}\)
Zatem \(\displaystyle{ r^6=1}\) skąd \(\displaystyle{ r=1}\), bo \(\displaystyle{ r}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
b) Ogólnie, to jest dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\), zachodzi:
\(\displaystyle{ |z^n|=|z|^n}\)
bo
\(\displaystyle{ |z_1z_2|=|z_1||z_2|}\).
Stosujemy więc do \(\displaystyle{ |\sqrt[6]{-1}|}\), szukaną wartość bezwzględną oznaczmy \(\displaystyle{ r}\). Mamy:
\(\displaystyle{ r^6=|(\sqrt[6]{-1})|^6=|(\sqrt[6]{-1})^6|=|-1|=1}\)
Zatem \(\displaystyle{ r^6=1}\) skąd \(\displaystyle{ r=1}\), bo \(\displaystyle{ r}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
- SZEKEL
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 2 lut 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wałbrzych
- Podziękował: 22 razy
Policzyć moduły liczb zespolonych
Czyli moduł z:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2+2i} = \sqrt{4} =2}\)
Czy tak??
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2+2i} = \sqrt{4} =2}\)
Czy tak??
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Policzyć moduły liczb zespolonych
Niezupełnie.
Oznaczmy \(\displaystyle{ r=|\sqrt[3]{-2+2i}|}\). Mamy:
\(\displaystyle{ r^3=|\sqrt[3]{-2+2i}|^3=|(\sqrt[3]{-2+2i})^3|=|-2+2i|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8}\)
czyli \(\displaystyle{ r^3=\sqrt 8}\) skąd \(\displaystyle{ r=\sqrt[3]{\sqrt 8}=\sqrt{\sqrt[3] 8}=\sqrt 2}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ r=|\sqrt[3]{-2+2i}|}\). Mamy:
\(\displaystyle{ r^3=|\sqrt[3]{-2+2i}|^3=|(\sqrt[3]{-2+2i})^3|=|-2+2i|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8}\)
czyli \(\displaystyle{ r^3=\sqrt 8}\) skąd \(\displaystyle{ r=\sqrt[3]{\sqrt 8}=\sqrt{\sqrt[3] 8}=\sqrt 2}\).