Analiza zespolona-pochodna

[qazwsx]

Sprawdzić, że funkcje dane wzorem \(\displaystyle{ f(0)=0}\), \(\displaystyle{ f(z)= |z|^{-2}(1+i) im (z^{2})}\), \(\displaystyle{ z\neq 0}\) mają pochodne tylko w punkcie \(\displaystyle{ z=0}\).

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ z=x+iy\ \Rightarrow \ f(x+iy)=\frac{2xy}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2}}\), a więc część rzeczywista u oraz urojona v mają postać \(\displaystyle{ u(x,y)=v(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}}\)
Funkcja ma pochodną, kiedy są spełnione warunki Cauchy-Riemanna, tzn \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}=\frac{ \partial v}{ \partial y},\ \frac{ \partial u}{ \partial y}=-\frac{ \partial v}{ \partial x}}\) - po obliczeniu i przyrównaniu otrzymujesz równość tylko dla x=y=0, czyli w żadnym punkcie \(\displaystyle{ z\neq 0}\) funkcja nie ma pochodnej.

Sprawdzenie, że jest pochodna w punkcie 0 - z definicji pochodnych cząstkowych (granice odpowiednich ilorazów różnicowych) i warunków Cauchy-Riemanna

Pozdrawiam.

[Maciej87]

Pochodna zespolona = pochodna rzeczywista funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2}\) równej \(\displaystyle{ \left(Re f(x,y),\,Im f(x,y)\right)}\) + warunki CC.
Sprawdzenie że jest pochodna rzeczywista- samo istnienie pochodnych cząstkowych nie wystarcza.
Trzeba by skomentować np. ich ciągłość.