Wyznaczyć elementy zbioru

[rydz]

Witam, ma problem z dwoma zadaniami, proszę o pomoc:

1) Wyznaczyć elementy zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-2}}\), a następnie zaznaczyć je na płaszczyźnie Gaussa.

W zadaniu korzystam ze wzoru: \(\displaystyle{ Z_{k}= \sqrt[n]{r} \cdot (cos \frac{ \varphi +2k \cdot \pi }{n} + isin \frac{ \varphi +2k \cdot \pi }{n} )}\) gdzie \(\displaystyle{ r = |Z|}\).

Moduł z Z wychodzi mi \(\displaystyle{ r=2}\). Argument liczby zespolonej wychodzi mi: \(\displaystyle{ \varphi=\pi}\).

Więc np: w \(\displaystyle{ Z_{0}=\sqrt[6]{2} \cdot (cos \frac{\pi }{6} + isin \frac{ \pi }{6} )=\sqrt[6]{2} \cdot (\frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{ 1 }{2}i )}\). Nie wiem ja się pozbyć tego: \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2}}\)

2) Jednym z elementów zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[9]{Z}}\) jest liczba \(\displaystyle{ Z_{0}=i- \sqrt{3}}\). Znaleźć \(\displaystyle{ Z}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{Z}}\).

[Crizz]

1.) Nie musisz się pozbywać \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2}}\). Pierwiastki n-tego stopnia z danej liczby tworzą zawsze wierzchołki pewnego n-kąta foremnego, wpisanego w okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{r}}\). Teraz znajdujesz na tym okręgu punkty, których argumenty są równe argumentom kolejnych otrzymanych pierwiastków (inaczej mówiąc, z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej odczytujesz współrzędne biegunowe).

-- 17 kwietnia 2009, 21:41 --

2.) Z zadania wynika, że:
\(\displaystyle{ (Z_{0})^{9}=Z}\)
\(\displaystyle{ (i-\sqrt{3})^{9}=Z}\)
\(\displaystyle{ Z=\left( 2\left( -\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\right) \right) ^{9}}\)
\(\displaystyle{ Z=\left( 2\left( cos\frac{5}{6}\pi+isin\frac{5}{6}\pi \right) \right) ^{9}}\)
\(\displaystyle{ Z=2^{9} \cdot \left(cos\left(9 \cdot \frac{5}{6}\pi\right)+isin \left(9 \cdot \frac{5}{6}\pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ Z=2^{9} \cdot \left(cos \frac{15}{2}\pi+isin \frac{15}{2}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ Z=512 \cdot \left(cos \frac{3}{2}\pi+isin \frac{3}{2}\pi \right)}\)

Dalej już sobie poradzisz.

[rydz]

Dzięki za pomoc , poradziłem sobie dalej.