\(\displaystyle{ a) f(z)=\frac{1}{z}}\)
\(\displaystyle{ b) f(z)=z^{2}}\)
Sprawdzić czy podane funkcje są holomorficzne
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Sprawdzić czy podane funkcje są holomorficzne
trzeba znaleźć część rzeczywistą u i urojoną v funkcji f i sprawdzić, czy ich pochodne cząstkowe są ciągłe oraz czy spełniają warunki Cauchy-Riemnanna.
Np dla b)
\(\displaystyle{ z=x+iy \quad\ \Rightarrow\quad u+iv=f(z)=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2xyi}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow\ u=x^2-y^2,\ v=2xy}\)
Sprawdzamy warunki C-R: \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}=2x=\frac{ \partial v}{ \partial y},\quad \frac{ \partial u}{ \partial y}=-2y=-\frac{ \partial v}{ \partial x}}\)
Wszystkie występujące tu pochodne cząstkowe są ciągłe w całej dziedzinie, równania C-R są spelnione w całej dziedzinie, więc funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie dziedziny oraz pewnym jego otoczeniu, więc funkcja f jest holomorficzna.
Dla a) analogicznie, jest tylko trochę więcej obliczeń. 0 jest wyłączone z dziedziny, a dla każdego argumentu da się dobrać otoczenie, które nie zawiera 0 (bo między każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje inna liczba rzeczywista).
Pozdrawiam.
Np dla b)
\(\displaystyle{ z=x+iy \quad\ \Rightarrow\quad u+iv=f(z)=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2xyi}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow\ u=x^2-y^2,\ v=2xy}\)
Sprawdzamy warunki C-R: \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}=2x=\frac{ \partial v}{ \partial y},\quad \frac{ \partial u}{ \partial y}=-2y=-\frac{ \partial v}{ \partial x}}\)
Wszystkie występujące tu pochodne cząstkowe są ciągłe w całej dziedzinie, równania C-R są spelnione w całej dziedzinie, więc funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie dziedziny oraz pewnym jego otoczeniu, więc funkcja f jest holomorficzna.
Dla a) analogicznie, jest tylko trochę więcej obliczeń. 0 jest wyłączone z dziedziny, a dla każdego argumentu da się dobrać otoczenie, które nie zawiera 0 (bo między każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje inna liczba rzeczywista).
Pozdrawiam.