Witam! Mialem zadanie:
Znajdz wszystkie n spelniajace warunek:
\(\displaystyle{ ( i+ \sqrt{3})^{n}= ( i- \sqrt{3})^{n}}\)
wyszlo mi, ze n={2,6,10,14.....}
no i chyba '0' tez, o ile sie nie myle.
moze ktos potwierdzic odpowiedz lub podac poprawne rozwiazanie?
z gory dzieki.
Znajdz wszystkie n spelniajace warunek
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Znajdz wszystkie n spelniajace warunek
Jeśli podstawisz n=2 to zobaczysz, że nie ma równości, zatem Twoje rozwiązanie nie jest poprawne.
Dwie liczby w postaci trygonometrycznej są równe jeśli mają równe moduły a ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność kąta \(\displaystyle{ 2\pi}\)
Ponieważ moduły obu liczb są równe \(\displaystyle{ 2^n}\), więc trzeba porównać argumenty. Argementem pierwszej jest np \(\displaystyle{ n\frac{\pi}{6}}\), a drugiej na przykład \(\displaystyle{ n\frac{5\pi}{6}}\)skąd otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ n\frac{\pi}{6}+2k\pi=n\frac{5\pi}{6}}\), co daje n=3k dla dowolnego całkowitego k.
Rozwiązanie ma być naturalne, zatem n=3k dla dowolnego naturalnego k. 0 jest liczbą naturalną lub nie w zależności od umowy, co przy takim zapisie rozwiązania nie ma znaczenia.
Dwie liczby w postaci trygonometrycznej są równe jeśli mają równe moduły a ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność kąta \(\displaystyle{ 2\pi}\)
Ponieważ moduły obu liczb są równe \(\displaystyle{ 2^n}\), więc trzeba porównać argumenty. Argementem pierwszej jest np \(\displaystyle{ n\frac{\pi}{6}}\), a drugiej na przykład \(\displaystyle{ n\frac{5\pi}{6}}\)skąd otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ n\frac{\pi}{6}+2k\pi=n\frac{5\pi}{6}}\), co daje n=3k dla dowolnego całkowitego k.
Rozwiązanie ma być naturalne, zatem n=3k dla dowolnego naturalnego k. 0 jest liczbą naturalną lub nie w zależności od umowy, co przy takim zapisie rozwiązania nie ma znaczenia.