pewne równanko

marsoft · Post autor: **marsoft** » 6 lut 2006, o 18:14

\(\displaystyle{ (z+2)^2=(\overline{z}+2)^2}\)

W sumie takie proste zadanko. Po podstawieniu za z=x+iy wychodzi mi że Im(z)=0 natomiast dlaczego w odp oprócz tej odpowiedzi jest Rez=-2

mógłby to ktoś zinterpretować?

\(\displaystyle{ x^2+2iy-y+4x+4iy=x^2-2yi-y+4x-4yi}\)
\(\displaystyle{ 16iy=0 => y=0 => Imz=0}\)

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 6 lut 2006, o 18:30

Raczej
\(\displaystyle{ x^2+2xyi-y^2+4x+4yi+4=x^2-2xyi-y^2+4x-4yi+4}\)

Równanie przedstawia się wtedy następująco:
\(\displaystyle{ 4xyi+8yi=0 \\ 4yi(x+2)=0}\)

marsoft · Post autor: **marsoft** » 6 lut 2006, o 21:02

spox thx

Teraz inny problem - znowu banalny ale jednak.

\(\displaystyle{ Im(z^2)}\)

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 6 lut 2006, o 21:06

Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wtedy \(\displaystyle{ \Im z^2 = 2xy}\), więc mamy rozwiązać \(\displaystyle{ 2xy0\wedge y0]}\), więc wychodzi 'poprawna odpowiedź', druga i czwarta ćwiartka.

marsoft · Post autor: **marsoft** » 7 lut 2006, o 02:02

znowu zonkk

Nom i znowu mam problem:
1)z=x+iy, x,y e R

\(\displaystyle{ |\frac{z-2i}{z+1}|=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x+iy-2i /(x+1)-iy}{x+iy+1 /(x+1)-iy}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2+x-xyi+i(xy+y-2x-2)+y^2-2y}{x^2+2x+1+y^2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(\frac{x^2+x+y^2-2y}{x^2+2x+1+y^2})^2+(\frac{y-2x-2}{x^2+2x+1+y^2})^2}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^4+x^2+y^4-4y^2+y^2-4x^2-4}{x^4+4x^2+1+y^4}=1^2}\)

\(\displaystyle{ x^2+3y^2+5=0}\)

no i tu się kończy cała zabawa bo coś tu nie gra pod pierwiastkiem powstaje liczba ujemna co nie jest wykresem tego równania bo ma być to wykres prostej przechodzącej przez 2 i 4 ćwiartke - gdzie znowu robie błąd?? Oczywiście zadaniem jest rozwiązanie układu w taki sposób a nie z interpretacji geometrycznej - wiem że absurd ale jednak

2)Interpretacja geometryczna:
\(\displaystyle{ arg(\overline{z}-1-2i)=\frac{3}{2}\pi}\)
Mamy z inter. geom. że
a)\(\displaystyle{ arg(z-z_0)=\alpha}\) -> tz. przyjmujemy jako początek ukł. wspł z_0 i kąt fi jako alfa
b) \(\displaystyle{ arg(\overline{z})=2\pi-arg(z)}\)
więc wg tego mamy

\(\displaystyle{ arg[\overline{z}-(1+2i)]=\frac{3}{2}\pi}\)

\(\displaystyle{ 2\pi-arg[z-(1+2i)]=\frac{3}{2}\pi}\)

\(\displaystyle{ arg[z-(1+2i)]=\frac{1}{2}\pi}\)

czyli wykres to prosta o wsp. 1+2i i kącie alfa równym pi/2. W odpowiedziach natomiast jest wykres od pkt. 1-2i - dlaczego? Zadanko z gwiazdką

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 7 lut 2006, o 09:38

Stary, jak Ty do kwadratu podnosisz?? Kwadrat sumy to suma kwadratów??

marsoft · Post autor: **marsoft** » 7 lut 2006, o 10:41

\(\displaystyle{ \sqrt{(\frac{x^2+x+y^2-2y}{x^2+2x+1+y^2})^2+(\frac{y-2x-2}{x^2+2x+1+y^2})^2}=1}\)

no więc jak to należy dalej rozpisać bo to kwadrat sumy wieloskładnikowej? dzięki

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 7 lut 2006, o 10:54

Po prostu wymnożyć dwa nawiasy przez siebie, wyraz po wyrazie:

\(\displaystyle{ (x^2+x+y^2-2y)(x^2+x+y^2-2y)=x^4+x^3+x^2 y^2-2yx^2+x^3+x^2+xy^2-2xy+x^2 y^2+xy^2+y^4-2y^3-2yx^2-2xy-2y^3-4y^2}\)

marsoft · Post autor: **marsoft** » 7 lut 2006, o 16:12

oks;)...choć nadal nie mogę rozwizać tego równanka

Mam następne pytanko. Mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ (sin {\frac{\pi}{6}} + icos \frac{\pi}{6})^{24}}\)

no więc moduł z =1; kąt fi = pi/6 -nom ale jak to rozwiązać gdy nie mamy cos + isin tylko odwrotnie? Zamieniłem to na -cos110+isin110 ale po rozwiązaniu wyszedł mi ułamek a w odp jest 1. Jak więc to rozwiązać? thx

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 7 lut 2006, o 16:29

Wyciągnij sobie "i" przed nawias pod potęgą.

marsoft · Post autor: **marsoft** » 7 lut 2006, o 17:02

[ Dodano: Wto Lut 07, 2006 5:49 pm ]

marsoft pisze:nierozumiem....co na to da? \(\displaystyle{ (cos \pi/6 + (sin \pi/6)/i)^24}\) no i co dalej?

Jednak zadanko okazało się trywialne
Wystarczy zamienić sin na 1/2 a cos na sqrt{3/2}
Wtedy mamy proste rówananie \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}+{\frac{\sqrt{3}}{2}}i)^{24}}\) z którego jak na dłoni mamy rozwiązanie równe 1.

Nom ale mam jeszcze problem z tamtymi pozostałymi dwoma niejasnościami. Podoła ktoś im?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 7 lut 2006, o 17:49

\(\displaystyle{ (sin {\frac{\pi}{6}} + icos \frac{\pi}{6})^{24} = (-i^2sin {\frac{\pi}{6}} + icos \frac{\pi}{6})^{24} = [i(-isin {\frac{\pi}{6}} + \cos \frac{\pi}{6})]^{24} = [i(\cos \frac{\pi}{6}-isin {\frac{\pi}{6}})]^{24}}\)

bo 1/i = -i

marsoft · Post autor: **marsoft** » 7 lut 2006, o 20:58

jak dla mnie to było mocne :] rozwiązanie

Teraz inne cosik. Męcze się już z tym chwilke, no i nie wychodzi:

\(\displaystyle{ Im{\frac{(1+i)z}{(1-i)\overline{z}}}>=0}\)

Chodzi tu o narysowanie liczb zespolonych spełniających powyższą nierówność
Podpowiem, że wykresem jest część ukladu wsp. zawierająca się między dwoma prostymi które są odchylone o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) bez pkt (0,0). Dzięki za jakiąś podpowiedź lub najlepiej jakieś rozwiązanie bo już nie mam do tego siły - thx

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 7 lut 2006, o 21:11

Podstaw z=x+iy, tylko dobrze przemnóż, uwolnij mianownik od jednostki urojonej, zostaw część urojoną otrzymanej liczby, rozwiąż nierówność.
Wyjdzie.

marsoft · Post autor: **marsoft** » 8 lut 2006, o 01:20

spox wyszło dzięks

Teraz kolejna przeszkoda:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)

1)Należy rozwiązać z definicji, czyli mamy
czyli przyrównujemy do z^3
\(\displaystyle{ \left{x^3-3xy^2=0\\3x^2y-y^3=1}\right}\)
z pierwszego równania wyliczamy \(\displaystyle{ x=\sqrt{3y^2}}\) lub \(\displaystyle{ x=-\sqrt{3y^2}}\)
podstawiamy do drugiego i mamy
y=1/2 dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{3y^2}}\)
zbiór pusty dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{3y^2}}\)

No więc następnie wracamy z tym y do równania x^3-3xy^2=0 i z niego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^3-3x*1/4=0}\)->\(\displaystyle{ x(x^2-3/4)=0}\)->\(\displaystyle{ x=\sqrt3/2}\) lub \(\displaystyle{ x=-\sqrt3/2}\)

No więc ostatecznie mamy:
z=1/2i
z=sqrt3/2+1/2i
z=-sqrt3/2+1/2i

Gdzie popełniałem błąd? W odp zamiast pierwszego pierwiastka jest z=-i

thx