Znajdź błąd w rozumowaniu - pierwiastki zespolone

[friko]

Czy potrafi ktoś znaleźć tutaj błąd?:
\(\displaystyle{ 1=1}\)
\(\displaystyle{ 1= \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ 1= \sqrt{(-1) * (-1)}}\)
\(\displaystyle{ 1= \sqrt{-1} * \sqrt{-1}}\)
\(\displaystyle{ 1=i*i}\)
\(\displaystyle{ 1=-1}\)
sam jestem ciekaw

[Nakahed90]

Jak dla mnie błąd jest w przejściu z 3 do 4 linijki.

[Ralf1410]

\(\displaystyle{ i \cdot i=-1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{-1} =i}\)
czyli

\(\displaystyle{ \sqrt{-1} * \sqrt{-1}=-1}\)

[Lorek]

Tak po pierwsze to \(\displaystyle{ i\neq \sqrt{-1}}\).

[Ralf1410]

Tak po pierwsze to \(\displaystyle{ i\neq \sqrt{-1}}\).

Zgadza się.Głupi błąd.

[friko]

skoro \(\displaystyle{ i \neq \sqrt{-1}}\)
to czemu równe jest i ?

[Lorek]

i jest równe i, to tak samo jakby się spytać czemu równe jest 1. i po prostu ma taką własność, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\), no ale \(\displaystyle{ (-i)^2\stackrel{tez}=-1}\)

[xiikzodz]

Można zdefiniować bezproblemowo i poprawnie:

\(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\)

i jest to tak samo dobra definicja, co \(\displaystyle{ i=e^{\frac{\pi i}{2}}}\).

Problem zupełnie na czym innym polega. Otóż chodzi definiowanie funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{\:\:}}\) na płaszczyźnie zespolonej lub przynajmniej na okręgu jednostkowym. Nie da się tego zrobić bez "rozerwania" płaszczyzny na przykład wzdłuż (dowolnej) pólprostej o początku w zerze.

Jeśli więc chcemy, by \(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\), co jest jak najbardziej dobrym pomysłem w wielu przypadkach, to będziemy musieli pogodzić się z tym, że w jakimś innym punkcie okręgu jednostkowego nie będzie można określić pierwiastka w sposób ciągły - w tym punkcie spotkają się liczby o argumencie różniącym się o \(\displaystyle{ \pi}\).

Tu oznacza to tyle, że wzór \(\displaystyle{ \sqrt{xy}=\sqrt x\sqrt y}\) będzie tylko prawie dobry (odpowiednio dobierając prostą rozrywającą da się go obronić, gdy moduł sumy argumentów liczb \(\displaystyle{ x,y}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ 2\pi}\), co nie zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=-1}\)). To znaczy trzeba się liczyć z tym, że czasami wystąpi błąd w postaci liczby \(\displaystyle{ e^{-\pi i}=-1}\). Na tym właśnie polega trik w tym sofizmacie. Milcząco zakłada on istnienie ciągłego pierwiastka.

Dla przykładu wzór:

\(\displaystyle{ \sqrt{i\cdot(-1)}=\sqrt{i}\sqrt{-1}}\)

jest OK, bo suma argumentów liczb \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ i}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}<2\pi}\)

lecz wzór
\(\displaystyle{ \sqrt{(-1)(-i)}=\sqrt{-1}\sqrt{i}}\)

będzie kłopotliwy, bo suma argumentów liczb \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -i}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{2}>2\pi}\)

i wobec tego będzie kłopot z sensownym określeniem wszystkich pierwiastków jednocześnie.

[Emiel Regis]

Ciekawa informacja o stosowalności wzoru \(\displaystyle{ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}}\) natomiast tutaj wg mnie błąd nastąpił już w pierwszym przejściu.

Pierwiastek algebraiczny (wnioskuje, ze o takim tu mowa, gdyz arytmetyczny jest okreslony tylko dla nieujemnych argumentow) jest zdefiniowany nastepujaco:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a} = \{b: b^n=a\}}\)

czyli widzimy, że jest to zbiór.

Zatem pisząc:

\(\displaystyle{ 1=1\\1=\sqrt{1}}\)

już popełniamy błąd gdyż prawa strona to zbiór wiec de facto rozumowanie z pierwszego postu mogłoby bez korzystania z wlasnosci \(\displaystyle{ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}}\) tak wygladac:

\(\displaystyle{ 1=1\\1=\sqrt{1}\\1=-1}\)

co oczywiscie nie jest prawdą gdyż tak jak pisałem operacja brania pierwiastka jest multifunkcją wiec porownujemy ze sobą liczbę oraz zbiór.

[xiikzodz]

Zupełnie źle.

Pierwiastek to element zbioru pierwiastków, a nie zbiór pierwiastków. Co w tym przypadku nie ma zupełnie nic do rzeczy, bo tu występuje symbol \(\displaystyle{ \sqrt{.}}\), którego nie należy samowolnie definiować po uważaniu jako jakiś zbiór. Inaczej ludzie zaczną stosować definicje obiektów tak, jak im się wydaje i przestaną się wzajemnie rozumieć.

Symbol \(\displaystyle{ \sqrt{.}}\) w dziedzinie zespolonej oznacza funkcję, która każdej liczbie zespolonej \(\displaystyle{ z}\) przyporządkowuje pierwiastek równania \(\displaystyle{ x^2=z}\). Taka funkcja nie jest jednoznacznie określona i nie da się jej przedłużyć do funkcji ciągłej na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Dlatego mówi się o ciągłej gałęzi pierwiastka. Nie przeszkadza to jednak równościom typu \(\displaystyle{ \sqrt{i}\cdot\sqrt{i}=i}\) mieć pełnoprawny sens (ta równość jest zresztą prawdziwa). Zupełnie nie stosują się w tym przypadku własności pierwiastka arytmetycznego, które pierwiastek w dziedzinie zespolonej ma lub nie. Równie bezsensowne jest szukanie następnika liczby rzeczywistej na podstawie operacji następnika liczby naturalnej. Gdy znajdujemy się w jakiejś teorii, uzżywamy pojęć i definicji z TEJ teorii, a nie z jakiejś INNEJ.

Przy okazji. Zbiór typu \(\displaystyle{ \{b: b^n=a \}}\) też ma w matematyce oznaczenie. Takie zbiory odgrywają centralną rolę w geometrii algebraicznej, gdzie jednak symbolu \(\displaystyle{ \sqrt{.}}\) używa się w zupełnie innym znaczeniu.

[Emiel Regis]

Szkoda, że nie pamiętam gdzie spotkałem się z taką definicją pierwiastka. W kazdym razie to nie jest tutaj najistotniejsze.
Wracajac do tematu ja nie twierdzę, że zapis \(\displaystyle{ \sqrt{1} = 1}\) nie ma sensu tylko pokazuję, gdzie tkwi problem. Bez względu na to czy spojrzymy na "pierwiastek" jako na zbiór czy też jako na "operację brania pierwiastka \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}}\)" czyli de facto jako na funkcję wielowartościową to problem sprowadzi sie do tego, iz mozemy otrzymac rozne liczby.

Tak wiec pomimo, iz zapisy:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1} = -1}\)
mają sens to absolutnie nie implikują tego iż \(\displaystyle{ 1=-1}\).

To tak jakby wziąść funkcję wielowartościową \(\displaystyle{ f}\), nastepnie policzyć \(\displaystyle{ f(x_0) = a_1}\) oraz \(\displaystyle{ f(x_0) = a_2}\) i na tej podstawie wnioskowac, ze \(\displaystyle{ a_1 = a_2}\). I to czy \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła czy też nie, nie ma tutaj żadnego znaczenia.

Tak patrze to my po prostu mowimy o innym przejsciu, Ty uzasadniasz czemu nie wolno zrobic przejscia:

\(\displaystyle{ 1= \sqrt{(-1) * (-1)}}\)
\(\displaystyle{ 1= \sqrt{-1} * \sqrt{-1}}\)

a ja juz odpowiadam co by było gdyby ktos skrocil rozumowanie z pierwszego postu do nastepujacego:

\(\displaystyle{ 1=1}\)
\(\displaystyle{ 1 = \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ 1 = -1}\)

[xiikzodz]

Oczywiście, że mówimy o różnych przejściach, bo do wspomnianego przeze mnie wszystko jest dobrze.

\(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\)

tak określa się funkcję pierwiastek dla liczb rzeczywistych dodatnich i jest to oznaczenie znane 10-latkom. Później uczymy się tę funkcję różniczkować, całkować, szukać granicy pochodnej w zerze etc. To jest część elementarnej edukacji matematycznej i trzeba się mocno napiąć (tak jak Jaś robiący nową fizykę po klasówce), żeby to odrzucić.

Spekulując można równie dobrze inaczej określić funkcję, to jest położyć \(\displaystyle{ \sqrt 1=-1}\) i większość własności tej funkcji przeniesie się. Ale symbol \(\displaystyle{ \sqrt}\) jest zarezerwowany dla tej drugiej funkcji. Zatem tak długo, jak działamy w liczbach rzeczywistych napis \(\displaystyle{ \sqrt{1}=-1}\) jest fałszem.

To wszystko powyżej traci zasięg w momencie, gdy patrzymy na napis \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\). A gdy spotykamy się z oznaczeniem, którego nie rozumiemy, to zamiast wymyślać dla niego swoje definicje, szukamy ogólnie przyjętych. A definicja FUNKCJI pierwiastek to wciąż kanon elementarny. Który powiada zresztą, że zanim zaczniemy coś liczyć, trzeba się zdecydować, który z napisów \(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\), czy \(\displaystyle{ \sqrt{1}=-1}\) jest właściwy - jest prawdziwą równością. Po wykonaniu tej operacji możemy śmiało rachować na pierwiastkach z ograniczeniami dokładnie przeze mnie opisanymi w pierwszej mojej tu odpowiedzi.

... Która nie służyła pochwaleniu się, że umiem coś rozwiązać, tylko właśnie zwróceniu uwagi na to, co oznacza w matematyce napis \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\). Szczególnie, że to pouczający fragment matematyki. Nie piszę tu niczego, co mi się wydaje, czy co mi się udało wymyślić. Ludzie to już dawno wymyślili i wyrosła z takich rozważań centralna część współczesnej matematyki.

Emiel Regis, był tu na forum taki spec od "owrotnych implikacji", który uprawiał dokładnie ten sam kawałek roli, czyli folklor. Każdy przecież wie, że jeśli sobie odpowiednio dobierze definicję, to i napis \(\displaystyle{ 1\cdot 1 = 1}\) straci sens, a przy okazji wszystkie rozwiązania wszystkich problemów na tym forum i w ogóle w historii matematyki od momentu, w którym Arabowie zaczęli używać symboli (algebry) do opisu własności pojęć i obiektów. Dlatego elementem kultury matamatycznej jest NIE TWORZENIE własnych definicji dla pojęć już stanowiących kanon. Riemann, właśnie ten facet, który rozgałęził 150 lat temu płaszczyznę zespoloną na potrzeby funkcji pierwiastek (i nie tylko), przechodził męki, gdy musiał coś własnego zdefiniować (warto przeczytać) - a zdefiniował obiekty, które zdecydowana większość matematyków uważa za najważniejsze w matematyce w ogóle.

[Emiel Regis]

Zanim coś napiszesz to najpierw przeczytaj ze zrozumieniem post, do którego sie odnosisz. Wyraźnie napisałem, że spotkałem się z taką definicją pierwiastka, a nie że ją wymyślam. W domyśle oznacza to, że widziałem ją na wykładzie tudzież w książce (raczej na murach takich napisów nie spotkasz).

Specjalnie dla Ciebie znalazłem ów zapis w notatkach z analizy zespolonej:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \{w:w^n = z\}}\)

badz tez zapis twierdzenie de Moivre'a:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{n \in \mathbb{N}_1} \bigwedge_{z \neq 0} \sqrt[n]{z} = \left\{w_0, \ldots, w_{n-1}: w_k = \sqrt[n]{|z|}\left(cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+isin\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)\right\}}}\)

Przejrzyj sobie różne źródła, a znajdziesz wiele różnych określeń, Twój dogmatyzm moze nieco podupaść. Nawet jest w internecie opisany ten sam problem co powyższy.

Stosując Twoja terminologię to bardzo się musiałaś napiąć, żeby z taką pewnością siebie zdyskredytowac moje spojrzenie na symbol pierwiastka z drugiej linii jako na pierwiastek algebraiczny.

Jednakże jakiej by definicji pierwiastka algebraicznego nie przyjąć to zawsze pierwiastkiem kwadratowym z jedynki będzie jeden oraz minus jeden.

Zatem tak długo, jak działamy w liczbach rzeczywistych napis \(\displaystyle{ \sqrt{1}=-1}\) jest fałszem.

Riemann nie dość, że męki przechodził to teraz jeszcze się w grobie przewraca gdy widzi, że w liczbach rzeczywistych coś takiego jest nieprawdą.
Bez chwalenia się rozwiąż sobie w liczbach rzeczywistych równanie \(\displaystyle{ x^2 = 1}\), jak otrzymasz tylko 1 to gratuluję.
Bardziej folklorystycznie to możesz skorzystać z określenia funkcji potęgowej dla liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = e^{\frac{1}{n} Ln(z)}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ Ln(z) = \ln |z| + i \arg(w) + 2k \pi i, k \in \mathbb{Z}}\)

i teraz dopiero ustalając k wybierasz gałąź jednoznacznosci i możesz z takim przekonaniem mówić, że na danej gałezi pierwiastek przyjmuje jedną konkretną wartość: \(\displaystyle{ \sqrt{1} = 1}\). Tutaj dla k = 0 otrzymasz 1 a dla k = 1 otrzymasz -1.


Do wikipedii trzeba podchodzić z pewną dozą nieufności jednak jako luźną ciekawostke podam co napisali na jej angielskiej wersji:

The square roots of 0 are described by the multiset {0,0}, because 0 is a root of multiplicity 2 of the polynomial \(\displaystyle{ x^2}\)

[xiikzodz]

Przyznaję się do kompletnej porażki w tej dyskusji. Nie wiem, jak mogło mi się wydawać, że \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) oznacza liczbę zespoloną, a nie zbiór i wobec tego w jaki sposób mogło mi w ogóle przyjść do głowy pomnożyć zbiory tak, jak w działaniu \(\displaystyle{ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}}\). Jest to tym głupsze z mojej strony, że równie notorycznie używam pojęcia zbioru pierwiastków jako włókna n-krotnego nakrycia \(\displaystyle{ f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}^*}\) danego wzorem\(\displaystyle{ f(z)=z^n}\). Patrząc na to w ten sposób i przyjmując oświeconą definicję pierwiastka mamy piękny w prostrocie wzór: \(\displaystyle{ f(\sqrt[n]z)=\{z\}}\). Czy też przy rozszerzeniach algebraicznych - tak naprawdę rozszerzam o zbiór pierwiastków, a nie o jeden wybrany... no przy rozszerzeniach Galois przynajmniej, ale tu mówimy o dziedzinie zespolonej funkcji pierwiastek, więc to ma mało do rzeczy.

Przyznaję się też do notorycznego definiowania funkcji \(\displaystyle{ f:U\to\mathbb{C}}\) danej na pewnych obszarach wzorem \(\displaystyle{ f(z)=\sqrt{z}}\) zupełnie bez zasięgnięcia opinii w źródłach typu internetowe dyskusje i wikipedia (całe szczęście edytor się nie połapał). Na swoje usprawiedliwienie mam to, że w domu mam tylko trzy pozycje z analizy zespolonej plus rozprawę Riemanna w oryginale, czego w żadnym razie nie można uznać za dostateczne do orzekania, co jest kanonem, a co nie.

Przy okazji. Emiel Regis, bardzo ciekawią mnie źródła twojej definicji \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) w liczbach zespolonych. Moje książki nt. analizy zespolonej jakby przestarzałe. Mam Rudina, Halmosa, Hormandera i rozprawę doktorską Riemanna, wszędzie symbolem \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\) oznacza się ciągłą gałąź pierwiastka, a nie jakiś zbiór. Z uwagi na to, że poza prawdziwie folklorystycznymi wątkami dyskusji typu ta: nie potrafię znaleźć niczego na temat, przydałyby się jakieś poważne referencje. Oczywiście wyłącznie po to, żeby dopełnić procesu mojego wyjścia z dogmatyzmu, który miota Riemannem w grobie. Jeśli masz w notatkach, to warto podać nazwisko wykładającego. Inaczej takie informacje są bezwartościowe, jak zresztą każde, za które nikt nie bierze odpowiedzialności. Sądzę, że przy Riemannie i Hormanderze będzie to bardzo wartościowa i pouczająca lektura. A chyba zgodzimy się, że w internecie (a i na wykładach, bo na wykładach często zresztą precyzja jest kosztem zrozumiałości) jest sporo głupot i trudno ocenić wartość danego poglądu bez znajomości jego źródła.

[klaustrofob]

Of topik: xiikzodz - ładny tekst, szczególnie wstawki o Riemannie. Głowę dałbym, że z polskiego miałaś celujący.