Znajdź błąd w rozumowaniu - pierwiastki zespolone

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 12 kwie 2009, o 11:31

Wykłady z analizy zespolonej prowadzi na moim wydziale doktor Krzysztof Reczek.

Zacytuję jeszcze Panią Jolantę Długosz z książki Funkcje zespolone:

Jolanta Długosz pisze:Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy przez \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}.}\)

oraz definicje z jeszcze innych źródeł:

Fichtenholz pisze:Wreszcie pierwiastek n-tego stopnia z liczby z jest równy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{\Theta}{n} + i \sin \frac{\Theta}{n})}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{r}}\) jest pierwiastkiem arytmetycznym z modułu r. Podstawiając tu kolejno
\(\displaystyle{ \Theta = \theta, \theta + 2 \pi, \ldots, \theta + 2(n-1) \pi}\) otrzymamy n różnych wartości pierwiastka \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\).

Leja pisze:Każdą liczbę zespoloną z spełniającą równanie \(\displaystyle{ z^n = a}\) nazywamy n-tym pierwiastkiem liczby zespolonej a i oznaczamy przez \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a}}\).

Literatury którą Ty podałaś niestety nie posiadam więc nie sprawdzę jak dawniej pisano o pierwiastku.

Reasumujac: bardzo Cię proszę nie wmawiaj mi, że mam urojenia albo, że coś samemu tworzę. Twierdziłem tylko tyle, że spotkalem się z różnymi definicjami pierwiastka i dokładnie to wyszło w trakcie naszej dyskusji. Natomiast która z nich jest poprawna/należy do kanonu/prowadzi do powszechnie akceptowanych wniosków to już inna bajka.
Z innej strony oczywiscie trudno porównywać zacytowaną powyżej przeze mnie jako pierwszą pozycję z tymi, które Ty podałaś. Niemniej można przypuszczać (wymagać?), że ktoś kto pisze książkę matematyczną (choćby i dla studentów politechnik, im też się należy fachowa wiedza) powinien posiadać ku temu kompetencje. Jeśli nie posiada to znaczy, że bardzo źle się dzieje w polskim szkolnictwie wyższym. Ja się nie czuję kompetentny oceniać tych ludzi, jeśli Ty uważasz, że dysponujesz odpowiednią wiedzą to możesz to uczynić, ew. napisac własną książkę, w której poprawnie wyłożysz studentom analizę zespoloną.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 12 kwie 2009, o 12:18

Przecież jest raczej oczywista różnica pomiędzy zdaniem:
Każdy mieszkaniec Chin jest Chińczykikiem,
a zdaniem
Chińczyk to zbiór mieszkańców Chin.
Dlatego tylko pierwszy cytat się nadaje, co odnotowujemy.

(W tej części podejrzewam pewne urojenia. Pewnie u mnie...)

A podsumowując. Rozumiem, że błąd w ciągu równości polega twoim zdaniem na tym, że spotkałeś się z różnymi definicjami. To znaczy z jedną definicją, w której obiekt \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) jest zbiorem i wobec tego nie można go mnożyć. Pozostałe dwie, jak pewnie widzisz, nie powodują takiego problemu, bo chyba nie stanowi problemu dla ciebie wymnożenie dwóch wybranych liczb z jakiegoś zbioru. Jeśli cokolwiek w moich wcześniejszych wypowiedziach sugerowało, że sam wyprodukowałeś tę definicję, to jest to sugestia niezamierzona. Raczej chodziło mi o łatwość, z jaką ludzie tworzą definicje, czasami nawet nie zmieniając nazw i oznaczeń obiektów już istniejących. Jest to prawdziwa udręka dla czytających i recenzujących.

Co do urojeń przez ciebie wspomnianych. Też znam wiele definicji... na przykład taką definicję różniczkowania, której nie da się sensownie zastosować do różniczkowania funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\), albo definicję liniowości, przy której funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) jest liniowa. Albo taką, przy której mnożenie funkcji ciągłych o wartościach zespolonych na zbiorze zwartym nie jest przemienne. Co nie oznacza, że na czyjeś pytanie, ile to \(\displaystyle{ (x^2)'}\) odpowiem, że pytanie bez sensu, funkcje liniowe przyjmują niezerowe wartości w zerze. Te trzy definicje są pożyteczne w pewnych sytuacjach. Ta trzecia nawet bardzo pożyteczna i to w bardzo wielu sytuacjach, lecz z wyłączeniem wszelkich sytuacji spotykanych tu na forum... póki co, mam nadzieję.

Mój wkład w temat:

Rogal · Post autor: **Rogal** » 12 kwie 2009, o 14:26

Ja ze swej strony to tej jakże interesującej i jednocześnie jałowej dyskusji dorzucę trzy grosze - od czasów Riemanna trochu się symbolika zmieniła w matematyce i na pewno rzeczy patrzymy inaczej.
Zaś sprawa samego pierwiastka jest dziwnie prosta - jedno z was mówi o analizie, drugie o algebrze, więc nie dziwota chyba, że w algebrze nie będziemy stosowali pojęć ciągłości, włókien i innych takich, zaś w analizie nie robimy z pierwiastka funkcji wielowartościowej (zazwyczaj).
Dodam również, że rozumienie pierwiastka liczby zespolonej jako zbioru pierwiastków z tej liczby nie pojawia się jedynie w książkach dla inżynierów, a najzwyczajniej w świecie po raz pierwszy oficjalnie z taką definicją spotkałem się u pana Sierpińskiego w jego Zarysie algebry wyższej, a rok temu u pana doktora Piotra Niemca na zajęciach z algebry liniowej. A zważając na poziom, dorobek i podejście do matematyki przez pana doktora, to nie sądzę, by były to urojenia.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 12 kwie 2009, o 14:47

Znaczy się, Rogal, jak widzisz napis \(\displaystyle{ \sqrt{i}\cdot\sqrt{i}}\) to odrzucasz w nim sens od samego początku, bo widziałeś definicję \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\), na przykład Pana Niemca, w której napis \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) nie jest liczbą?

Rozumiem też, że zakładacie obaj, że autor tematu jedynie w głębokiej ignorancji użył niewłaściwie symbolu \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) i to jest waszym zdaniem morał z tego tematu?

Pytam całkiem serio, bo mnie to bardzo interesuje. Pisuję różne rzeczy, w których raczej swobodnie używam ciągłych gałęzi funkcji zespolonych, bez wahania i nawet bez wyjaśniania używając symboli \(\displaystyle{ \sqrt[n]a}\) jedynie wspominając, że wybieram ciągłą gałąź pierwiastka (ma to zalety ). Mam więc poważne obawy, że mi akceptują jakieś niedorzeczności, albo też przynajmniej, że używana przeze mnie notacja jest archaiczna. Zapewniam, że to dalece niejałowe, bo nawet jeśli nikt moich wypocin nie czyta, to ma to dość bezpośredni wpływ na edukację pewnego stanowczo niepustego zbioru studentów. Dla przykładu wymagając analizowania funkcji danej wzorem:

\(\displaystyle{ f(t)=\int_0^t\sqrt[3]{z-1}\sqrt[3]{z+1}\mbox{d}z}\)

dla gałęzi pierwiastka rozciętego wzdłuż półosi urojonej ujemnej, być może popełniam jakiś katastrofalny błąd ze szkodą dla młodzieży. Obawiam się, że to czynię już od dłuższego czasu...

A co do archaiczności tekstu Riemanna, to zapewniam, że notacja w nim to akurat najmniej archaiczna część (całość użytej tam notacji zostanie zaakpceptowana we wszystkich liczących się periodykach, choć teraz nieco inaczej dowodzi się twierdzenia Riemanna o odwzorowaniu równokątnym). Spora część pospolitych słów nie występuje już w pisowni tam użytej. A i pojęcia i sformułowania są raczej nienowoczesne. Zabawne jest jednak to, że student do muru przyparty o sens jakiejś definicji, sam z siebie zbiega do sformułowań w tym stylu. To z kolei wynika pewnie stąd, że u podłoża zrozumienia pojęć kiedyś była intuicja, na przykład fizyczna, a teraz mamy formalizm - co mnie akurat bardzo cieszy, bo niemam sensownych intuicji na ogół. Tak czy siak przyjemnie się to czyta.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 12 kwie 2009, o 15:40

Nic takiego nie napisałem. Natomiast zwracam uwagę (jak swego czasu nam doktor Niemiec), że należy zaznaczyć, co ma się na myśli, pisząc taki symbol w algebrze, bo nie jest jednoznaczny.
Dlatego żadnego napisu nie odrzucę od razu, wcześniej spróbuję się zastanowić "co poeta miał na myśli".
Widzę, że nie przeczytała Pani początku mego posta zbyt uważnie - cały czas piszę, że definicje analityczne mnie ziębią - są i fajnie, kto się analizą zajmuje, ten wie.
Nic nie trzeba zakładać ponadto o tym, co autor powiedział, bo moje zdanie morał z tego jest prosty - nie należy używać czegoś o czym nie ma się pojęcia, bądź jak sama Pani napisała - twierdzeń sformułowanych w jednym dziale nie przenosić automatycznie na dział inny, bo podobny.
Ja mając lat bodaj szesnaście "odkryłem" sześcienne pierwiastki zespolone z jedynki (nudziło się mi na Wiedzy o Kulturze) i całkiem zaszokowany, podzieliłem się tą jakże wspaniałą wiedzą tutaj (w jakimś temacie o sofizmatach czy innych sprzecznościach) i zostałem bardzo szybko i brutalnie sprowadzony na ziemię przez między innymi pana ukrywającego się pod nickiem g. Nie zrozumiałem wtedy co prawda, dlaczego napisałem tak okrutną bzdurę, ale jakaś stanowczość i pewność w tym co napisali dała mi do myślenia. I wyszło mi to jak najbardziej na dobre.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 12 kwie 2009, o 15:56

Ale przecież w tym temacie chodzi o ustalenie błędu w rozumowaniu, a nie ignorancji jego autora. Z uwagi na to, że nie dysponuję zdolnościami telepatycznymi i nie wiem, jak autor rozumie napisy, używam ich znaczenia najbardziej naturalnego. Inaczej można się do każdego zapisu na tym forum przyczepić, o ile nie wyprowadza wszystkich użytych pojęć z aksjomatów ZF.

Zaś sprawa samego pierwiastka jest dziwnie prosta - jedno z was mówi o analizie, drugie o algebrze, więc nie dziwota chyba, że w algebrze nie będziemy stosowali pojęć ciągłości, włókien i innych takich, zaś w analizie nie robimy z pierwiastka funkcji wielowartościowej (zazwyczaj).

Głęboka ekspertyza. Obawiam się że i w tej materii mam sporo na sumieniu. Frywolnie i co gorsza bezustannie używam włókien i gałęzi w algebrze i beztrosko utożsamiając napisy... Mogę od ręki podać kilka faktów z teorii algebr, centralnych dla algebry, które nie mają znanych ludziom dowodów algebraicznych, a ich znane dowody mocno polegają na topologii i analizie. I pewnie nikogo z jakimkolwiek wglądem w kategorię analityczną i/lub współczesną algebrę to nie dziwi. A i samo przestudiowanie dowodów zasadniczego twierdzenia algebry może dać do myślenia.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 12 kwie 2009, o 21:26

Znam wspaniały dowód, który korzysta tylko z ciągłości funkcji wielomianowej jednej zmiennej, jeśli o to chodzi.
Natomiast nadal wyolbrzymiasz to co pisałem, przypisując mi fakty i zdania, których nawet nie miałem na myśli. Gdy będzie Pani pisała, jak matematyk (czyli mówimy o tym co jest, a nie o tym, co być może miałem na myśli), a nie jak analizator tekstów literackich, to możemy porozmawiać.
Choć na głęboką dyskusję nie mam ochoty, bo raz, że za cianki na to jestem w uszach, a dwa, że nie miałoby to sensu, bo jak wiemy, działy matematyki uwielbiają się przenikać, więc wszelka dyskusja o hermetyczności algebry nie ma sensu.
Jednej rzeczy muszę się czepić:

xiikzodz pisze:(...) nie wiem, jak autor rozumie napisy, używam ich znaczenia najbardziej naturalnego.

Dlaczego "najbardziej naturalnym" rozumieniem symbolu pierwiastka miałoby być rozumienie analityczne? Dla mnie osobiście jest to podejście algebraiczne, tak patrzę na pierwiastki, jak na elementy zbioru a nie wartości funkcji.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 12 kwie 2009, o 23:05

Nie rozumiem w ogóle, co to jest pierwiastek analityczny. Dla mnie pierwiastek to rozwiązanie równania, czyli taka liczba, którą podstawiamy w równaniu za zmienną, żeby wyszło zero. Znaczy się dla mnie każdy pierwiastek jest obiektem czysto algebraicznym, zupełnie niezależnym od topologii na zbiorze, w którym zmienną ewaluujemy i tym samym nijak nie mającym się do analizy. Analiza pomaga badać te obiekty i chwała jej za to. Podobnie analiza pomaga badać idempotenty, elementy odwracalne, radykały i ogólnie funktory, które są czysto algebraiczne - znaczy się do ich definicji nie jest potrzebna żadna przestrzeń topologiczna a tym bardziej metryczna lokalnie euklidesowa.

Jeśli mi wolno wtrącić... Widząc ciąg równości z sofizmatu w tym wątku zasadniczo można coś zrozumieć lub coś odrzucić. Strach przed nieznanym jest silny i pierwotny, dlatego łatwiej odrzucić. Moim zdaniem ma to pewną wadę, która powinna istotę w miarę rozumną zaniepokoić. Otóż jak byśmy nie określili pierwiastka z liczby \(\displaystyle{ i}\) równość \(\displaystyle{ \sqrt{i}\sqrt{i}=\sqrt{i^2}}\) będzie prawdziwa. Tak samo będzie zresztą dla połowy okręgu. Zrozumienie tego jest tej samej kategorii, co zrozumienie zasadniczego twierdzenia algebry. Pierwiastek zespolony to nieco więcej niż funkcja wielowartościowa. Tak samo wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach zespolonych to nieco więcej niż wektor w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\). Tak jak ciągłość wielomianu jest konieczna do pokazania, że ma pierwiastki, tak samo możliwość określenia funkcji \(\displaystyle{ \sqrt[n]x}\) na rozgałęzionym (w \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \infty}\)) nakryciu \(\displaystyle{ n}\) krotnym płaszczyzny zespolonej jest konieczna do pojmowania pierwiastków. Zasadnicze tw. algebry powiada zresztą, że oba spojrzenia są równoważne.

I w żadnym razie nie chodzi tu o to, że ktoś jest za cienki. Strach przed pojmowaniem nieznanych rzeczy dotyczy wszystkich. Powtarzam, nieznane łatwiej odrzucić niż zrozumieć. (A z antropologiczneo punktu widzenia nieznane często wzbudza agresję...) Dlatego tak łatwo zarzucić autorowi, moim zdaniem pouczającego tematu, że nie ma pojęcia, o czym pisze.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 13 kwie 2009, o 00:26

Ja tam autorowi nic nie zarzucam, raczej sądzę, że napisał to ot tak, wiedząc, gdzie leży błąd.
Ogólnie, to wolałbym nie wchodzić za głęboko w matematykę, bo w końcu Święta są i trza odpocząć od uczelni ;p.
Pozdrawiam i gratuluję studentom takiego naukowca.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 13 kwie 2009, o 12:53

xiikzodz pisze:Przecież jest raczej oczywista różnica pomiędzy zdaniem:
Każdy mieszkaniec Chin jest Chińczykikiem,
a zdaniem
Chińczyk to zbiór mieszkańców Chin.
Dlatego tylko pierwszy cytat się nadaje, co odnotowujemy.

Heh, znów mi imputujesz rzeczy, które absolutnie nie są moją intencją. Celowo umieściłem wszystkie trzy definicje, i bynajmniej nie dlatego, że uważam, iż każda z nich uznaje symbol \(\displaystyle{ \sqrt{ \ \ }}\) za zbiór, a dlatego iż chciałem podkreślić wcześniej wspomnianą przeze mnie dychotomię owych definicji.

Niemniej odnotowaliście pierwszą definicję, ja z kolei odnotowałem Twoje uzasadnienie niepoprawności przejscia z linii 3 do 4, zatem temat uważam jak najbardziej za wartościowy.

Rogal, od uczelni odpocząć to jak najbardziej, ale zeby od matematyki to już wymyślasz; )

Rogal · Post autor: **Rogal** » 13 kwie 2009, o 15:24

Cóż, od matematyki nie da się odpocząć - to tak jakby odpoczywać od oddychania

.
Jednak mój poziom matematyczny nie obrazuje roku studiów, na którym jestem - do mnie wszystko jakoś dłużej dochodzi ;p. Dlatego od zbyt tęgich rozkmin trzeba odpoczywać w Święta.