Rozwiąż równania

[aveee!]

a)

\(\displaystyle{ z= \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{ \sqrt{3}+i } \right) ^{24}}\)

b) Za pomoca postaci wykładniczej liczby zespolonej rozwiazac równanie:

\(\displaystyle{ ( \bar{z}) ^{4}=-9|z ^{2}|}\)

[Rogal]

To napisz jeszcze z czym masz problem i popraw to pierwsze zadanie, bo ta potęga chyba nie w tym miejscu miała być.

[aveee!]

Poprawiłem nawias, faktycznie był źle umieszczony. Za drugi zadanie w ogóle nie wiem jak sie zabrać, a w pierwszy zrobiłem tak, że z spierwiastkowałem do stopnia 24. Następnie licznik i mianownik prawej strony przez minus mianownik i wyszło mi ostatecznie: \(\displaystyle{ \sqrt[24]{z}=i}\) i nie wiem co dalej

[scyth]

w pierwszym zastosuj wzór de Moivre'a - liczbę w nawiasie przedstaw w postaci trygonometrycznej i zastosuj wzór na potęgowanie
w drugim zadaniu skorzystaj z postaci wykładniczej, czyli \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\alpha}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha=Arg(z)}\).

[aveee!]

Mógłbyś to rozpisać? Bardzo proszę.

[scyth]

\(\displaystyle{ \frac{1-i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}=\frac{(1-i\sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=
\frac{\sqrt{3}-i-3i-\sqrt{3}}{3+1}=\frac{-4i}{4}=-i}\)
A to nawet nie trzeba z de Moivre'a, ale mimo to tak to zrobię:
\(\displaystyle{ -i=\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \\
(-i)^{24}=\cos 24 \cdot \frac{3\pi}{2} + i \sin 24 \cdot \frac{3\pi}{2} =
\cos 36\pi + i \sin 36\pi = \cos 0 + i\sin 0 = 1}\)

[aveee!]

Dzieki śliczne za pomoc, a drugi przykład ?

[Sapphire]

Przyłączam się do pytania - co z drugim przykładem?

[mat1989]

\(\displaystyle{ (\overline z)^4=-9|z^2|<=> r^4e^{-4ei \varphi}=-9r^2\\ r^4=-9r^2 \wedge -4\varphi=k2\pi\\ r=\sqrt{-9}=3i \wedge \varphi=\frac{k\pi}{2}}\)
tylko nie wiem jak moduł może być liczbą zespoloną też:/

[Rogal]

No bo wyciągasz pochopne wnioski. Załóżmy, że z różne od 0 (0 oczywiście spełnia tę równość).
Masz równość: \(\displaystyle{ r^{4}(\cos 4 \phi - i \sin 4 \phi) = -9r^{2} \\ r^{2} (\cos 4 \phi - i \sin 4 \phi) = -9 = 9 \cdot (\cos \pi - i \sin \pi)}\)
Dwie liczby zespolone są równe, gdy mają taką samą długość i argument. Stąd r jest 3, a \(\displaystyle{ \phi = \pi .}\)

[mat1989]

ok, ale miało być postacią wykładniczą. Więc gdzie ten minus wstawić?

[Rogal]

Wiem, że miałoby wykładniczą, tylko chciałem właśnie pokazać na trygonometrycznej, bo najczęściej lepiej widać. Chciałem Ci zwrócić uwagę, że źle wyciągasz wnioski. Popatrz na drugie równanie w swojej równoważności (to po prawej). Podziel stronami przez r^{2} (bo już zakładałem, że jest różne od zera).
Wtedy r^2 musi być dodatnią liczbą rzeczywistą, którą wyciągamy po prawej stronie, tak by to co zostało było na moduł nie większe od 1, czyli wyciągamy 9, nie -9, bo niby czemu?

[mat1989]

ok ok, czyli minus wywalamy po prostu?

[Rogal]

Gdzie go znowu wywalamy? Przemyśl to, co napisałem, popatrz sobie na definicję równości dwóch liczb zespolonych w postaci wykładniczej/trygonometrycznej.

[mat1989]

zapisz mi jak możesz w postaci wykładniczej co się dzieje z tym minusem bo tak to nie zrozumiem :/