Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
anzej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 9 lut 2009, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy

Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie

Post autor: anzej »

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb \(\displaystyle{ z \in C}\) spełniających nierówność \(\displaystyle{ Re( \frac{z}{z-4i})\geqslant 0}\)
Mógłby ktoś pomóc?

Temat poprawiłem.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie

Post autor: Rogal »

A z czym masz problem?
anzej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 9 lut 2009, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy

Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie

Post autor: anzej »

Mógłby ktoś sprawdzić i ewentualnie poprawić.

\(\displaystyle{ \frac{z}{z-4i} = \frac{x+iy}{x+iy-4i} \cdot \frac{x-iy+4i}{x-iy+4i}= \frac{x^2+y^2-4y+4xi}{x^2+y^2-8y+16}= \frac{x^2+y^2-4y}{x^2+y^2-8y+16}+ i( \frac{4x}{x^2+y^2-8y+16})}\)

Teraz biorę pod uwage część Re. \(\displaystyle{ x^2+y^2-8y+16 >0 <=>x^2+y^2-4y \le 0}\)
Wychodzi równanie okręgu postaci \(\displaystyle{ (x-x1)^2+(y-b)^2=r^2}\) Później zaznaczam to na płaszczyźnie.
frej

Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie

Post autor: frej »

Jest dobrze, ale prawie. Trochę nie podoba mi się Twój zapis, może chodzi o to samo

\(\displaystyle{ \forall_{x, y \in \mathbb{R}} x^2+y^2-8y+16 = x^2+(y-4)^2 \le 0}\)

Należy zatem zbadać tylko znak licznika. A licznik jest nieujemny, gdy \(\displaystyle{ x^2+(y-2)^2 \ge 4}\)
Należy jeszcze sprawdzić, czy mianownik jest wszędzie określony ( niezerowy ).

Wynik jest bardzo ładny, co sugeruje, że zadanie te można zrobić bez takiego topornego liczenia, a tylko machając ręką. Niestety trochę brak mi wiedzy na temat takich geometrycznych interpretacji i bardzo bym się ucieszył, gdyby ktoś dał linka, nazwę książki albo wyjaśnił to może szerzej tutaj albo tylko ten dany przykład. Z góry dzięki.
ODPOWIEDZ