Ile rozwiazan rownania spelnia warunek.

[hashshin]

7. Ile rozwiazań równania \(\displaystyle{ z^{5} = -z}\) spelnia warunek \(\displaystyle{ z + \overline{z}> 0}\)?
8. Ile rozwiazań ma równanie \(\displaystyle{ z^{6} = \overline{z}}\) ? Ile z nich spelnia warunek
\(\displaystyle{ Re z \ge Im z}\)?

Bardziej chodzi mi o jasne wytlumaczenie tych zadanek niz ich rozwiazanie.

Z gory dziekuje

[Rogal]

A możesz to jasno zapisać, bo ciężko się domyślić ocb?

[tkrass]

1)
Niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\).

Nasze równanie poprzekształcam równoważnie:
\(\displaystyle{ z^5=-z \\ |z|^{5}( \cos 5\alpha + i \sin 5\alpha)=|z|( \cos (\alpha \pm \pi) + i \sin (\alpha \pm \pi)) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases} |z|^5=|z| \\ 5 \alpha = \alpha \pm \pi \end{cases}}\)

W takim razie albo \(\displaystyle{ z=0}\), co oczywiście nie spełnia warunku zadania, albo \(\displaystyle{ |z|=1 \wedge Arg z= \pm \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow a= \pm b}\) Te dwa warunki dają nam \(\displaystyle{ z= - \frac{\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2} \vee z= \frac{\sqrt{2}}{2} +i \frac{\sqrt{2}}{2} \vee z=- \frac{\sqrt{2}}{2} +i \frac{\sqrt{2}}{2} \vee z= \frac{\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2}}\), wtedy \(\displaystyle{ z + \overline{z}= \pm \sqrt{2}}\), a to jest większe od zera dla dwóch rozwiązań.

Tego rozwiązania nie jestem pewien, szczególnie części z przyrównywaniem argumentów, proszę, żeby ktoś mądry to przeczytał i ewentualnie wyśmiał publicznie.

[snm]

Równania są dobrze, można to zrobić o wiele prościej:
\(\displaystyle{ z^{5}=-z \Leftrightarrow z^{5}+z=0 \Leftrightarrow z(z^{4}+1)=0 \Leftrightarrow z=0 \vee z^{4}=-1}\). Jako iż \(\displaystyle{ z=0}\) nie spełnia warunków zadania, mamy \(\displaystyle{ 4\alpha=\pm\pi}\). Z warunku ma być (podstawiając \(\displaystyle{ z=a+bi}\)) \(\displaystyle{ a>0}\), czyli bierzemy tylko wyniki z I i IV ćwiartki układu współrzędnych (gdy zaznaczamy na okręgu jednostkowym).

[frej]

8. Wystarczy zapisać w postaci trygonometrycznej. wykładniczej i porównać co trzeba...