Równanie w zbiorze zespolonych

[kooler2000]

\(\displaystyle{ z^{4}=5+ (1+i)^{4}

2gie zadanko:
z^{3}=2z*(sprzężenie z)}\)

[Frey]

bzdury

[Rogal]

Mhm, a od kiedy to \(\displaystyle{ z^{2} = |z|^{2} ?}\)

[tkrass]

\(\displaystyle{ z^{4}=5+(1+i)^{4} \\ z^{4}=5+1+4i-6-4i+1 \\ z^{4}=1 \\ (a+bi)^{4}=1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow Im ((a+bi)^{4})=0 \\ a^{3}bi=ab^{3}i \\ a^{3}b=ab^{3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a=0 \vee b=0 \vee a=b \vee a=-b}\)

Podstawiamy wszystkie przypadki i przez proste wymnażanie sprawdzamy, że:

\(\displaystyle{ z=1 \vee z=-1 \vee z=i \vee z=-i}\)

W przypadkach kiedy \(\displaystyle{ a=b}\) lub \(\displaystyle{ a=-b}\) otrzymujemy, że kwadrat liczby rzeczywistej jest ujemny, a to oczywiście sprzeczność.

Mogłem się pomylić w rachunkach, dlatego proszę o korekty.

Frey, wydaje mi się, że nie do końca zrozumiałeś, że działania na liczbach zespolonych rządzą się troszkę innymi prawami niż na rzeczywistych. W Twoim rozwiązaniu widzę dwa ordynarne blefy

[Rogal]

tkrass, policzyłeś dobrze, tylko raczej niepotrzebnie narobiłeś sobie problemów.
\(\displaystyle{ z^{4} - 1 = (z-1)(z+1)(z^{2}+1)}\)
A tutaj już wszyscy wiedzą, co robić

[Frey]

upps aj sorry nie zadziała bo mi się skojarzyło z czymś innym