tg3x i wzór Moivre-a

[peele]

korzystając ze wzoru Moivre'a wyrazić \(\displaystyle{ tg3x}\) jako funkcję \(\displaystyle{ tgx}\)

[belferkaijuz]

\(\displaystyle{ tg3x= \frac{sin3x}{cos3x}}\)
ze wzoru Moivre'a
\(\displaystyle{ \begin{cases}(cosx+isinx)^3=cos3x+isin3x \\ (cosx+isinx)^3=cos^3x+i3cos^2x \cdot sinx-3cosx \cdot sin^2x-isin^3x\end{cases}}\)
stąd porównując Rez i Imz otrzymujemy
\(\displaystyle{ cos3x=cosx(cos^2x-3sin^2x) \wedge sin3x=sinx(3cos^2x-sin^2x)}\)

zatem

\(\displaystyle{ tg3x= \frac{sin3x}{cos3x}= \frac{sinx}{cosx} \cdot \frac{3- \frac{sin^2x}{cos^2x} }{1-3 \cdot \frac{sin^2x}{cos^2x} }=tgx \cdot \frac{3-tg^2x}{1-3tg^2x}}\)