modul i faza

[imgstage]

znalezc modul i faze liczby
\(\displaystyle{ \left(\frac{ \sqrt{2}-i \sqrt{6} }{1-i} \right) ^{n}}\).
jakas wskazowka??

[tkrass]

Wskazówka - usuń część urojoną z mianownika, potem oblicz moduł i go wyciągnij przed nawias.

Rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ z^{n}=( \frac{ \sqrt{2} -i \sqrt{6} }{1-i})^{n}=( \frac{( \sqrt{2} -i \sqrt{6}) (1+i)}{1^{2}-i^{2}})^{n}=( \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} + i( \sqrt{2} - \sqrt{6} )}{2})^{n}}\)

Moduł tej liczby:
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ Re^{2} z + Im^{2} z} = \sqrt{2+2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 6+2-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 6}= 2}\)

\(\displaystyle{ z^{n}=2^{n}( \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} + i \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{6} }{4} )^{n}=2^{n}( \cos (- \frac{\pi}{12}) + i \sin (- \frac{\pi}{12}))^{n} = 2^{n} ( \cos (- \frac{n \pi}{12}) + i \sin (- \frac{n \pi}{12} ))}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ |z^{n}|=2^{n}}\)
\(\displaystyle{ Arg (z^{n}) = - \frac{n \pi}{12}}\)