postac tryg. liczby zespolonej

[michal0389]

Mam problem, z wyznaczenim katow. Otoz mam obliczyc:

\(\displaystyle{ (2-2 \sqrt{3}i)^7}\)

\(\displaystyle{ r=4}\)

\(\displaystyle{ cos(\frac{1}{2})= cos\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ sin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=sin- \frac{\pi}{3}=sin(\pi+\frac{\pi}{3})=sin \frac{4}{3}\pi ???}\)

W odpowiedzi jest:

\(\displaystyle{ 2-2 \sqrt{3}i=4(cos\frac{5}{3}\pi + isin \frac{5}{3}\pi)}\)


Skad wzielo sie to \(\displaystyle{ \frac{5}{3}\pi}\)? Czy przez dodanie katow stojacych prze cosinusie i sinusie? Jesli tak, to cy zawsze sie tak robi?

[Andreas]

\(\displaystyle{ cos(\frac{1}{2})= cos\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ sin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=sin- \frac{\pi}{3}=sin(\pi+\frac{\pi}{3})=sin \frac{4}{3}\pi ???}\)

A co to w ogóle za zapis?

\(\displaystyle{ \begin{cases} cos \varphi= \frac{1}{2}\\ sin \varphi = \frac{- \sqrt{3} }{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \varphi= \frac{-\pi}{3}}\)

W odpowiedzi jest:

\(\displaystyle{ 2-2 \sqrt{3}i=4(cos\frac{5}{3}\pi + isin \frac{5}{3}\pi)}\)


Skad wzielo sie to \(\displaystyle{ \frac{5}{3}\pi}\)? Czy przez dodanie katow stojacych prze cosinusie i sinusie? Jesli tak, to cy zawsze sie tak robi?

Wzór de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z^n = |z|^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)}\)

\(\displaystyle{ (2-2 \sqrt{3}i)^7=|4|^7(\cos 7 \cdot \frac{-\pi}{3} + i\sin 7 \cdot \frac{-\pi}{3})}\)