Liczby zespolone - 2 zadania

Watari · Post autor: **Watari** » 27 mar 2009, o 13:07

1)

Korzystając z liczb zespolonych proszę pokazać, że suma trzech zaznaczonych na rysunku kątów jest kątem prostym (3 kwadraty)

Z wyznaczeniem pierwszego kąta - 45 stopni nie ma problemu. Problem pojawia się w dwóch pozostałych:
\(\displaystyle{ cos\alpha_{2} = \frac {2\sqrt{5}}{5}}\)
I teraz pytanie: jak wyznaczyć miarę kąta, nie używając tablic matematycznych(nie chodzi mi o zapis z arcsin, po prostu miarę kata, żeby po zsumowaniu alfa2 i alfa3 otrzymać \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

2)
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ z^{2} + (-3+2i)z - 7 + 11i = 0}\)
Należy tutaj policzyć deltę, a pierwiastek z delty obliczyć za pomocą wzoru na pierwiastki z liczb zespolonych, a potem podstawić otrzymane pierwiastki do wzorow na z1 i z2?

Proszę o pomoc.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 mar 2009, o 13:15

Ad 1

Mamy liczby zespolone

\(\displaystyle{ 3+i}\)

\(\displaystyle{ 2+i}\)

\(\displaystyle{ 1+i}\)

Należy je wymnożyć a na koniec przejść z postaci algebraicznej na trygonometryczną

Wymnozyć je jest wygodniej w postaci algebraicznej (bez przechodzenia na postać trygonometryczną )

\(\displaystyle{ z_{1}z_{2}z_{3}=\left| z_{1}\right| \left| z_{2}\right| \left| z_{3}\right| \left( \cos(arg(z_{1})+arg(z_{2})+arg(z_{3}))+i\sin(arg(z_{1})+arg(z_{2})+arg(z_{3}))\right)}\)

\(\displaystyle{ 10i=\left| z_{1}\right| \left| z_{2}\right| \left| z_{3}\right| \left( \cos(arg(z_{1})+arg(z_{2})+arg(z_{3}))+i\sin(arg(z_{1})+arg(z_{2})+arg(z_{3}))\right)}\)

W drugim możesz tak rozwiązać jak napisałeś

Watari · Post autor: **Watari** » 27 mar 2009, o 13:29

Chyba raczej: x+xi, 2x+xi, 3x+xi, nie jest powiedziane, że bok kwadratu ma długość 1. A co mi da pomnożenie tych liczb?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 mar 2009, o 13:38

Watari pisze:Chyba raczej: x+xi, 2x+xi, 3x+xi, nie jest powiedziane, że bok kwadratu ma długość 1. A co mi da pomnożenie tych liczb?

Można przyjąć że bok kwadratu ma długość jednostkową ponieważ pomnożenie liczby zespolonej przez liczbę
rzeczywistą nie zmienia argumentu
Pomnożenie tych liczb da poprawny wynik ponieważ podczas mnożenia liczb zespolonych argumenty się dodaje

P.S.

Dokładnie takie samo zadanie miałem na algebrze

Watari · Post autor: **Watari** » 27 mar 2009, o 14:56

Ok dzięki ale ponawiam 1 pytanie:

\(\displaystyle{ cos\alpha_{2} = \frac {2\sqrt{5}}{5}}\)
I teraz pytanie: jak wyznaczyć miarę kąta, nie używając tablic matematycznych(nie chodzi mi o zapis z arcsin, po prostu łukową miarę kąta

Potrzebne mi to jest jeszcze w kilku zadaniach, nie chcę zakładać nowego tematu.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 mar 2009, o 16:55

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-\arcsin{ \frac{2 \sqrt{5} }{ 5 } }}\)

Przybliżoną wartość \(\displaystyle{ \arcsin{x}}\) można obliczyć z szeregu

Skorzystać z uogólnionego dwumianu Newtona
i rozwinąć w szereg

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }}\)

Następnie scałkować szereg
(wystarczy scałkować wzór na n-ty wyraz szeregu)

Watari · Post autor: **Watari** » 27 mar 2009, o 19:23

Jeszcze jedno:
Nie odwołując się do pojęcia fazy i modułu liczby zespolonej proszę obliczyć obydwa pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt{a+ib}}\), gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
WSKAZÓWKA: należy napisać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{a+ib} = x + iy}\), podnieść je stronami do kwadratu i rozwiązać ze wgzlędu na x i y. Rachunek opieramy na zasadzie, że równość dwóch liczb rzeczywistych polega na równości ich części rzeczywostych i urojonych.

Zrobiłem jak we wskazówce, doszedłem do takiego układu równań:
\(\displaystyle{ a = x^{2} - y^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 2xy}\)

Może to głupie pytanie, ale jak rozwiązać to równanie?:P

Wynik który mam otrzymać: \(\displaystyle{ \sqrt{a+ ib} = +/- \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} + i\frac{b}{\sqrt{2(a+\sqrt{a^{2}+b^{2})}}}}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 28 mar 2009, o 10:37

Watari pisze:Jeszcze jedno:
Nie odwołując się do pojęcia fazy i modułu liczby zespolonej proszę obliczyć obydwa pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt{a+ib}}\), gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
WSKAZÓWKA: należy napisać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{a+ib} = x + iy}\), podnieść je stronami do kwadratu i rozwiązać ze wgzlędu na x i y. Rachunek opieramy na zasadzie, że równość dwóch liczb rzeczywistych polega na równości ich części rzeczywostych i urojonych.

Zrobiłem jak we wskazówce, doszedłem do takiego układu równań:
\(\displaystyle{ a = x^{2} - y^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 2xy}\)

Może to głupie pytanie, ale jak rozwiązać to równanie?:P

Wynik który mam otrzymać: \(\displaystyle{ \sqrt{a+ ib} = +/- \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} + i\frac{b}{\sqrt{2(a+\sqrt{a^{2}+b^{2})}}}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=x^2-a \\ b^2=4x^2y^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=x^2-a \\ b^2=4x^2 \left(x^2-a \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=x^2-a \\ b^2=4x^4 -4a x^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=x^2-a \\ 4x^4 -4a x^2-b^2=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ t=2x^{2}}\)

\(\displaystyle{ t^2-2at-b^2=0}\)

lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=a \\ y= \frac{b}{2x} \end{cases}}\)

Watari · Post autor: **Watari** » 28 mar 2009, o 13:01

I wyjdzie z tego taki wynik jak tamten? Ja próbowałem i jakoś nie mogłem do tego doprowadzić
Mógłby ktoś to zrobić do końca?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 29 mar 2009, o 12:36

Watari pisze:I wyjdzie z tego taki wynik jak tamten? Ja próbowałem i jakoś nie mogłem do tego doprowadzić
Mógłby ktoś to zrobić do końca?

Jeżeli chcesz dostać wynik jaki napisałeś musisz
rozwiązać

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=a \\ y= \frac{b}{2x} \end{cases}}\)

Po podstawieniu drugiego równania do pierwszego i pomnożeniu go
przez \(\displaystyle{ 4x^2}\) dostaniesz równanie dwukwadratowe