Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ z^2+(-3-i)z+(8-i)=0}\)
Mam pewien pogląd na rozwiązanie tego zadania, ale zatrzymuję się w pewnym momencie i nie wiem co dalej:(
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych
Rozwiaz je, jak normalne rownanie kwadratowe.
Pozdrawiam,
--
Tomek Ruzycki
Pozdrawiam,
--
Tomek Ruzycki
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 30 sty 2006, o 14:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 1 raz
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych
Starałem się:(. Wychodzi mi delta (-24 + 10i), z której chcę obliczyć pierwiastek. Korzystam z wzoru Moivre'a na pierwiastki liczby zespolonej. I tu zaczynają się schody, bo nie mogę znaleźć kąta fi, którego cos=-24/26, a sin=10/26.
- PawelJan
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
- Pomógł: 209 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych
Stary, to trzeba sposobem
Wiesz, że masz pewną liczbę a+bi której kwadrat jest równy -24+10i, czyli trzeba ją znaleźć
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=a^{2}+2abi-b^{2} \; = \; -24+10i}\)
A że równość dwóch liczb zespolonych to równość ich części rzeczywistych i urojonych to
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=-24 \\ 2abi=10i}\)
Skąd, pamiętając już że a i b są rzeczywiste otrzymujemy rozwiązując równanie dwukwadratowe pary (1;5) oraz (-1,-5).
Wiesz, że masz pewną liczbę a+bi której kwadrat jest równy -24+10i, czyli trzeba ją znaleźć
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=a^{2}+2abi-b^{2} \; = \; -24+10i}\)
A że równość dwóch liczb zespolonych to równość ich części rzeczywistych i urojonych to
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=-24 \\ 2abi=10i}\)
Skąd, pamiętając już że a i b są rzeczywiste otrzymujemy rozwiązując równanie dwukwadratowe pary (1;5) oraz (-1,-5).
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 30 sty 2006, o 14:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 1 raz
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych
Nie mam pojęcia jak Tobie wyszły te pary. Próbuję na wszelkie sposoby rozwiązać ten układ równań i gleba! Nie mogę dojść do tych (1,5) czy (-1,-5). Jak to obliczyć, żeby było dobrze??
- PawelJan
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
- Pomógł: 209 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych
Z drugiego a=5/b, podstawiasz do pierwszego i masz
\(\displaystyle{ \frac {25}{b^{2}}+b^{2}=-24 \; \; |*b^{2} \\ b^{4}-24b^{2}-25=0}\)
Podstawiasz t=b�: \(\displaystyle{ t^{2}-24t-25=0}\)
Czyli t=25 lub t=-1 ale że b=√t i b ma być rzeczywiste to t=25, b=5 lub b=-5. Odpowiadające im "a" to a=5/b=1 lub a=-1.
Obliczyłeś pierwiastek z delty jest on równy a+bi=1+5i z dokładnością do znaków, teraz go podstawiasz do wzoru na pierwiastki równania wyjściowego, tam masz raz z plusem raz z minusem czyli i tak oba wyskoczą.
\(\displaystyle{ \frac {25}{b^{2}}+b^{2}=-24 \; \; |*b^{2} \\ b^{4}-24b^{2}-25=0}\)
Podstawiasz t=b�: \(\displaystyle{ t^{2}-24t-25=0}\)
Czyli t=25 lub t=-1 ale że b=√t i b ma być rzeczywiste to t=25, b=5 lub b=-5. Odpowiadające im "a" to a=5/b=1 lub a=-1.
Obliczyłeś pierwiastek z delty jest on równy a+bi=1+5i z dokładnością do znaków, teraz go podstawiasz do wzoru na pierwiastki równania wyjściowego, tam masz raz z plusem raz z minusem czyli i tak oba wyskoczą.