Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych

[Oxford]

Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ z^2+(-3-i)z+(8-i)=0}\)

Mam pewien pogląd na rozwiązanie tego zadania, ale zatrzymuję się w pewnym momencie i nie wiem co dalej:(

[Tomasz Rużycki]

Rozwiaz je, jak normalne rownanie kwadratowe.


Pozdrawiam,
--
Tomek Ruzycki

[Oxford]

Starałem się:(. Wychodzi mi delta (-24 + 10i), z której chcę obliczyć pierwiastek. Korzystam z wzoru Moivre'a na pierwiastki liczby zespolonej. I tu zaczynają się schody, bo nie mogę znaleźć kąta fi, którego cos=-24/26, a sin=10/26.

[PawelJan]

Stary, to trzeba sposobem

Wiesz, że masz pewną liczbę a+bi której kwadrat jest równy -24+10i, czyli trzeba ją znaleźć

\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=a^{2}+2abi-b^{2} \; = \; -24+10i}\)

A że równość dwóch liczb zespolonych to równość ich części rzeczywistych i urojonych to

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=-24 \\ 2abi=10i}\)

Skąd, pamiętając już że a i b są rzeczywiste otrzymujemy rozwiązując równanie dwukwadratowe pary (1;5) oraz (-1,-5).

[Oxford]

Nie mam pojęcia jak Tobie wyszły te pary. Próbuję na wszelkie sposoby rozwiązać ten układ równań i gleba! Nie mogę dojść do tych (1,5) czy (-1,-5). Jak to obliczyć, żeby było dobrze??

[PawelJan]

Z drugiego a=5/b, podstawiasz do pierwszego i masz
\(\displaystyle{ \frac {25}{b^{2}}+b^{2}=-24 \; \; |*b^{2} \\ b^{4}-24b^{2}-25=0}\)
Podstawiasz t=b�: \(\displaystyle{ t^{2}-24t-25=0}\)
Czyli t=25 lub t=-1 ale że b=√t i b ma być rzeczywiste to t=25, b=5 lub b=-5. Odpowiadające im "a" to a=5/b=1 lub a=-1.

Obliczyłeś pierwiastek z delty jest on równy a+bi=1+5i z dokładnością do znaków, teraz go podstawiasz do wzoru na pierwiastki równania wyjściowego, tam masz raz z plusem raz z minusem czyli i tak oba wyskoczą.