Muszę wyliczyć wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^5+64z^2=0}\) i naszkicować je w systemie Gaussa...
\(\displaystyle{ t=z^2}\)
\(\displaystyle{ t^3+64=0}\)
\(\displaystyle{ t^3=-64}\)
\(\displaystyle{ t=-4}\)
I co dalej?
-- 21 marca 2009, 17:45 --
No i powiedzmy, że dalej jest tak:
\(\displaystyle{ (z^2+4)=0}\)
\(\displaystyle{ (z-2i)(z+2i)=0}\)
\(\displaystyle{ z_{1} =-2i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=+2i}\)
Ale co dalej?
-- 21 marca 2009, 17:51 --
No i powiedzmy że jadę takim sposobem dalej:
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ b=-2}\)
to mi da:
\(\displaystyle{ r=2}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\pi}\)
szukam i próbuję dalej... ale proszę przynajmniej o powiedzenie czy do tej pory czegoś źle nie zrobiłem?
-- 21 marca 2009, 19:01 --
I dalej kombinując wyszło mi coś takiego:
Jak na poczatku jest z^5 to będzie 5 rozwiązań (chyba..).
No to jadę dalej:
\(\displaystyle{ k=0: 2(cos \frac{\pi}{5} isin \frac{\pi}{5} )}\)
\(\displaystyle{ k=1: 2(cos \frac{\3 \pi}{5} isin \frac{3 \pi}{5} )}\)
\(\displaystyle{ k=2: 2(cos \pi isin \pi )}\)
\(\displaystyle{ k=3: 2(cos \frac{7 \pi}{5} isin \frac{7 \pi}{5} )}\)
\(\displaystyle{ k=4: 2(cos \frac{9 \pi}{5} isin \frac{9 \pi}{5} )}\)
Proszę, napiszcie czy dobrze... Nie wiem, kombinowałem jak mogłem...
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania
Metoda jest zła. Po pierwsze, nie rozumiem, w jaki sposób otrzymałeś równanie \(\displaystyle{ t^{3}+64=0}\), ale nawet, gdyby było ono poprawne, to z równości \(\displaystyle{ t^{3}=-64}\) w dziedzinie zespolonej nie wynika wcale, że \(\displaystyle{ t=-4}\).
\(\displaystyle{ z^{5}+64z=z(z^{4}+64)= z(z^{2}+8i)(z^{2}-8i)}\)
Skoro \(\displaystyle{ z(z^{2}+8i)(z^{2}-8i)=0}\), to rozważasz trzy przypadki:
1. \(\displaystyle{ z=0}\)
2. \(\displaystyle{ z^{2}-8i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=8i}\)
Wystarczy znaleźć pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ 8i}\). Możesz w tym celu np. przedstawić \(\displaystyle{ 8i}\) w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ 8i=8(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})}\) i skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej. Wychodzi \(\displaystyle{ z_{1}=2+2i,z_{2}=-2-2i}\)
3. \(\displaystyle{ z^{2}=-8i}\)
Tak samo jak wyżej znajdujesz pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ -8i}\). Wychodzi \(\displaystyle{ z_{3}=2-2i,z_{4}=-2+2i}\)
Ostatecznie, rozwiązaniami równania są liczby \(\displaystyle{ 0,2+2i,-2-2i,2-2i,-2+2i}\).
\(\displaystyle{ z^{5}+64z=z(z^{4}+64)= z(z^{2}+8i)(z^{2}-8i)}\)
Skoro \(\displaystyle{ z(z^{2}+8i)(z^{2}-8i)=0}\), to rozważasz trzy przypadki:
1. \(\displaystyle{ z=0}\)
2. \(\displaystyle{ z^{2}-8i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=8i}\)
Wystarczy znaleźć pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ 8i}\). Możesz w tym celu np. przedstawić \(\displaystyle{ 8i}\) w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ 8i=8(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})}\) i skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej. Wychodzi \(\displaystyle{ z_{1}=2+2i,z_{2}=-2-2i}\)
3. \(\displaystyle{ z^{2}=-8i}\)
Tak samo jak wyżej znajdujesz pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ -8i}\). Wychodzi \(\displaystyle{ z_{3}=2-2i,z_{4}=-2+2i}\)
Ostatecznie, rozwiązaniami równania są liczby \(\displaystyle{ 0,2+2i,-2-2i,2-2i,-2+2i}\).
- Domanoid
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 18 wrz 2008, o 14:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bogatynia
- Podziękował: 1 raz
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania
no tak... tylko tam jest x^5+64z^2=0... a ty podałeś rozwiązanie dla x^5+64z=0
Mimo to dzięki wielkie za zainteresowanie, zaraz spróbuję tą metodą rozwiązać to co wyżej, czy się uda czy nie przepiszę tu moje rozwiązanie.
Mimo to dzięki wielkie za zainteresowanie, zaraz spróbuję tą metodą rozwiązać to co wyżej, czy się uda czy nie przepiszę tu moje rozwiązanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania
Sorki, źle przeczytałem.
W takim razie \(\displaystyle{ z^{5}+64z^{2}=z^{2}(z^{3}+4^{3})=z^{2}(z+4)(z^{2}-4z+16)}\)
i przy rozpatrywaniu przypadku \(\displaystyle{ z^{2}-4z+16=0}\) możesz rozwiązać to równanie jak normalne równanie kwadratowe.
W takim razie \(\displaystyle{ z^{5}+64z^{2}=z^{2}(z^{3}+4^{3})=z^{2}(z+4)(z^{2}-4z+16)}\)
i przy rozpatrywaniu przypadku \(\displaystyle{ z^{2}-4z+16=0}\) możesz rozwiązać to równanie jak normalne równanie kwadratowe.