Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Domanoid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 18 wrz 2008, o 14:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bogatynia
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania

Post autor: Domanoid »

Muszę wyliczyć wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^5+64z^2=0}\) i naszkicować je w systemie Gaussa...

\(\displaystyle{ t=z^2}\)
\(\displaystyle{ t^3+64=0}\)
\(\displaystyle{ t^3=-64}\)
\(\displaystyle{ t=-4}\)

I co dalej?

-- 21 marca 2009, 17:45 --

No i powiedzmy, że dalej jest tak:

\(\displaystyle{ (z^2+4)=0}\)
\(\displaystyle{ (z-2i)(z+2i)=0}\)
\(\displaystyle{ z_{1} =-2i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=+2i}\)

Ale co dalej?

-- 21 marca 2009, 17:51 --

No i powiedzmy że jadę takim sposobem dalej:

\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ b=-2}\)

to mi da:
\(\displaystyle{ r=2}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\pi}\)

szukam i próbuję dalej... ale proszę przynajmniej o powiedzenie czy do tej pory czegoś źle nie zrobiłem?

-- 21 marca 2009, 19:01 --

I dalej kombinując wyszło mi coś takiego:

Jak na poczatku jest z^5 to będzie 5 rozwiązań (chyba..).

No to jadę dalej:

\(\displaystyle{ k=0: 2(cos \frac{\pi}{5} isin \frac{\pi}{5} )}\)

\(\displaystyle{ k=1: 2(cos \frac{\3 \pi}{5} isin \frac{3 \pi}{5} )}\)

\(\displaystyle{ k=2: 2(cos \pi isin \pi )}\)


\(\displaystyle{ k=3: 2(cos \frac{7 \pi}{5} isin \frac{7 \pi}{5} )}\)

\(\displaystyle{ k=4: 2(cos \frac{9 \pi}{5} isin \frac{9 \pi}{5} )}\)

Proszę, napiszcie czy dobrze... Nie wiem, kombinowałem jak mogłem...
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania

Post autor: Crizz »

Metoda jest zła. Po pierwsze, nie rozumiem, w jaki sposób otrzymałeś równanie \(\displaystyle{ t^{3}+64=0}\), ale nawet, gdyby było ono poprawne, to z równości \(\displaystyle{ t^{3}=-64}\) w dziedzinie zespolonej nie wynika wcale, że \(\displaystyle{ t=-4}\).

\(\displaystyle{ z^{5}+64z=z(z^{4}+64)= z(z^{2}+8i)(z^{2}-8i)}\)
Skoro \(\displaystyle{ z(z^{2}+8i)(z^{2}-8i)=0}\), to rozważasz trzy przypadki:
1. \(\displaystyle{ z=0}\)
2. \(\displaystyle{ z^{2}-8i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=8i}\)
Wystarczy znaleźć pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ 8i}\). Możesz w tym celu np. przedstawić \(\displaystyle{ 8i}\) w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ 8i=8(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})}\) i skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej. Wychodzi \(\displaystyle{ z_{1}=2+2i,z_{2}=-2-2i}\)
3. \(\displaystyle{ z^{2}=-8i}\)
Tak samo jak wyżej znajdujesz pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ -8i}\). Wychodzi \(\displaystyle{ z_{3}=2-2i,z_{4}=-2+2i}\)

Ostatecznie, rozwiązaniami równania są liczby \(\displaystyle{ 0,2+2i,-2-2i,2-2i,-2+2i}\).
Awatar użytkownika
Domanoid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 18 wrz 2008, o 14:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bogatynia
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania

Post autor: Domanoid »

no tak... tylko tam jest x^5+64z^2=0... a ty podałeś rozwiązanie dla x^5+64z=0

Mimo to dzięki wielkie za zainteresowanie, zaraz spróbuję tą metodą rozwiązać to co wyżej, czy się uda czy nie przepiszę tu moje rozwiązanie.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania

Post autor: Crizz »

Sorki, źle przeczytałem.

W takim razie \(\displaystyle{ z^{5}+64z^{2}=z^{2}(z^{3}+4^{3})=z^{2}(z+4)(z^{2}-4z+16)}\)
i przy rozpatrywaniu przypadku \(\displaystyle{ z^{2}-4z+16=0}\) możesz rozwiązać to równanie jak normalne równanie kwadratowe.
ODPOWIEDZ