Argument i moduł liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
quildrassill
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 17 lis 2008, o 00:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Argument i moduł liczby zespolonej

Post autor: quildrassill »

Obliczyć argument i moduł liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ (1+\cos(x)+i\sin(x))^n}\)

Wskazówka: Pomocne będą wzory połówkowe i tw. de Moivre'a

Ze wzorów połówkowych wynalazlem tylko cuś takiego:
\(\displaystyle{ 1+\cos(x)=2\cos^2(\frac{x}{2})}\)

Niewiem jak to ruszyć...
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Argument i moduł liczby zespolonej

Post autor: Crizz »

\(\displaystyle{ z=1+cosx+isinx=2cos^{2}\frac{x}{2}+2isin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=2cos\frac{x}{2}\left(cos\frac{x}{2}+isin\frac{x}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ z^{n}=(1+cosx+isinx)^{n}= 2cos^{n}\frac{x}{2} \left(cos\frac{nx}{2}+isin\frac{nx}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ |z^{n}|=2cos^{n}\frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ Arg(z^{n})=\frac{nx}{2}}\)
ODPOWIEDZ