logarytm z l. zespoolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 paź 2008, o 16:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Małopolska
logarytm z l. zespoolonej
Jak rozwiązać taki logarytm:
\(\displaystyle{ ln(1-i)}\)? Coś mi wyjść nie chce..
\(\displaystyle{ ln(1-i)}\)? Coś mi wyjść nie chce..
Ostatnio zmieniony 20 mar 2009, o 23:03 przez maaaaagda, łącznie zmieniany 1 raz.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
logarytm z l. zespoolonej
\(\displaystyle{ \ln(z)=\ln \left(|z| \right) +i*arg \left( z\right)}\)
Wyznacz moduł i argument tak jak to się robi przy przedstawianiu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej
następnie weź logarytm z modułu a argument pomnóż przez jednostkę urojoną
Obie liczby dodaj do siebie
\(\displaystyle{ \ln \left( 1-i\right)=\ln \left( \sqrt{2} \right)-i \frac{\pi}{4}}\)
Obliczamy moduł i argument
Moduł
\(\displaystyle{ \sqrt{\Re{z}^2+\Im{z}^{2}}= \sqrt{1+ \left( -1\right)^2 }= \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)
Argument
\(\displaystyle{ \arctan{ \frac{\Im{z}}{\Re{z}} }=\arctan{ \frac{-1}{1}} =-\arctan{1}=- \frac{\pi}{4}}\)
Logarytm z modułu
\(\displaystyle{ \ln{ \sqrt{2} }}\)
Logarytm
\(\displaystyle{ \ln{\sqrt{2}}-i \frac{\pi}{4}}\)
Wyznacz moduł i argument tak jak to się robi przy przedstawianiu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej
następnie weź logarytm z modułu a argument pomnóż przez jednostkę urojoną
Obie liczby dodaj do siebie
\(\displaystyle{ \ln \left( 1-i\right)=\ln \left( \sqrt{2} \right)-i \frac{\pi}{4}}\)
Obliczamy moduł i argument
Moduł
\(\displaystyle{ \sqrt{\Re{z}^2+\Im{z}^{2}}= \sqrt{1+ \left( -1\right)^2 }= \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)
Argument
\(\displaystyle{ \arctan{ \frac{\Im{z}}{\Re{z}} }=\arctan{ \frac{-1}{1}} =-\arctan{1}=- \frac{\pi}{4}}\)
Logarytm z modułu
\(\displaystyle{ \ln{ \sqrt{2} }}\)
Logarytm
\(\displaystyle{ \ln{\sqrt{2}}-i \frac{\pi}{4}}\)
Ostatnio zmieniony 20 mar 2009, o 20:53 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 paź 2008, o 16:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Małopolska
logarytm z l. zespoolonej
A dlaczego \(\displaystyle{ arctg}\).. taka jest definicja przejścia z postaci algebraicznej na trygonometryczną mam rozumieć..
Ostatnio zmieniony 20 mar 2009, o 21:42 przez maaaaagda, łącznie zmieniany 1 raz.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
logarytm z l. zespoolonej
Tak można także zastosowaćmaaaaagda pisze:A dlaczego arctg.. taka jest definicja przejścia z postaci algebraicznej na trygonometryczną mam rozumieć..
\(\displaystyle{ \begin{cases} \arccos{ \frac{\Re{z}}{ \left| z\right| } } , \Im{z} \geq 0 \wedge \left| z\right| \neq 0 \\ -\arccos{ \frac{\Re{z}}{ \left| z\right| } } , \Im{z}<0 \wedge \left| z\right| \neq 0 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 20 mar 2009, o 21:52 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 paź 2008, o 16:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Małopolska
logarytm z l. zespoolonej
Dobrze.. a jakbym jeszcze chciała wyznaczyć wartość główną tego logarytmu, to podstawiam za \(\displaystyle{ k=0}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ ln(1-i)=ln|1-i|+i(\varphi+2k\pi)}\)?
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
logarytm z l. zespoolonej
Ponieważ częścią urojoną logarytmu jest argument liczby logarytmowanej to wynikem jestmaaaaagda pisze:Dobrze.. a jakbym jeszcze chciała wyznaczyć wartość główną tego logarytmu, to podstawiam za k=0? Czyli wartość główna to byłoby \(\displaystyle{ \sqrt2}\)?
\(\displaystyle{ \ln \left(1-i \right) =\ln{ \sqrt{2} }+i \left( - \frac{\pi}{4} +2k\pi\right)}\)
Wartością główna zależy od tego jak zdefiniujemy argument główny liczby zespolonej
Jeżeli argument główny liczby zespolonej należy do przedziału \(\displaystyle{ <-\pi;\pi>}\) to
wartością główną logarymu będzie
\(\displaystyle{ \ln{\sqrt{2}}-i \frac{\pi}{4}}\)
Jeżeli argument główny liczby zespolonej należy do przedziału \(\displaystyle{ <0;2\pi>}\) to
wartością główną logarymu będzie
\(\displaystyle{ \ln{\sqrt{2}}+i \frac{7\pi}{4}}\)
Część urojona wartości głównej logarytmu jest równa argumentowi głównemu liczby logarytmowanej
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 paź 2008, o 16:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Małopolska
logarytm z l. zespoolonej
Ok. To mam taki przykład: \(\displaystyle{ ln(-1)}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1))}\)
\(\displaystyle{ Modul: |-1|=\sqrt{-1^2}=1}\)
\(\displaystyle{ Argument: \arctan \frac{0}{1}=0}\)
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln1=0}\)
Wartość główna to będzie po prostu \(\displaystyle{ ln(-1)=ln1+i 2k\pi}\) ? Bo ja nie mam określone na jakim przedziale mam wyznaczyć tą wartość główną..
albo taki:
\(\displaystyle{ ln(-1+i\sqrt3)}\)
\(\displaystyle{ ln(-1+\sqrt3)=ln2-i\frac{\pi}{3}}\)
I co znowu w wartości głównej dokładam tylko \(\displaystyle{ 2k\pi}\) czyli tak wyglądałaby ta wartość główna : \(\displaystyle{ ln2+i(-\frac{\pi}{3}+ 2k\pi)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1))}\)
\(\displaystyle{ Modul: |-1|=\sqrt{-1^2}=1}\)
\(\displaystyle{ Argument: \arctan \frac{0}{1}=0}\)
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln1=0}\)
Wartość główna to będzie po prostu \(\displaystyle{ ln(-1)=ln1+i 2k\pi}\) ? Bo ja nie mam określone na jakim przedziale mam wyznaczyć tą wartość główną..
albo taki:
\(\displaystyle{ ln(-1+i\sqrt3)}\)
\(\displaystyle{ ln(-1+\sqrt3)=ln2-i\frac{\pi}{3}}\)
I co znowu w wartości głównej dokładam tylko \(\displaystyle{ 2k\pi}\) czyli tak wyglądałaby ta wartość główna : \(\displaystyle{ ln2+i(-\frac{\pi}{3}+ 2k\pi)}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
logarytm z l. zespoolonej
Ponieważ część rzeczywistą liczby logarytmowanej masz mniejszą od zera a część urojoną większą lub równą zeromaaaaagda pisze:Ok. To mam taki przykład: \(\displaystyle{ ln(-1)}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1))}\)
\(\displaystyle{ Modul: |-1|=\sqrt{-1^2}=1}\)
\(\displaystyle{ Argument: \arctan \frac{0}{1}=0}\)
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln1=0}\)
Wartość główna to będzie po prostu \(\displaystyle{ ln(-1)=ln1+i 2k\pi}\) ? Bo ja nie mam określone na jakim przedziale mam wyznaczyć tą wartość główną..
albo taki:
\(\displaystyle{ ln(-1+i\sqrt3)}\)
\(\displaystyle{ ln(-1+\sqrt3)=ln2-i\frac{\pi}{3}}\)
I co znowu w wartości głównej dokładam tylko \(\displaystyle{ 2k\pi}\) czyli tak wyglądałaby ta wartość główna : \(\displaystyle{ ln2+i(-\frac{\pi}{3}+ 2k\pi)}\)
to do arcusa musisz dodać \(\displaystyle{ \pi}\)
Gdyby część rzeczywista liczby logarytmowanej była mniejsza od zera a część urojona mniejsza od zera
to od arcusa musiałabyś odjąć \(\displaystyle{ \pi}\)