logarytm z l. zespoolonej

[maaaaagda]

Jak rozwiązać taki logarytm:
\(\displaystyle{ ln(1-i)}\)? Coś mi wyjść nie chce..

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \ln(z)=\ln \left(|z| \right) +i*arg \left( z\right)}\)

Wyznacz moduł i argument tak jak to się robi przy przedstawianiu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej
następnie weź logarytm z modułu a argument pomnóż przez jednostkę urojoną
Obie liczby dodaj do siebie
\(\displaystyle{ \ln \left( 1-i\right)=\ln \left( \sqrt{2} \right)-i \frac{\pi}{4}}\)

Obliczamy moduł i argument

Moduł

\(\displaystyle{ \sqrt{\Re{z}^2+\Im{z}^{2}}= \sqrt{1+ \left( -1\right)^2 }= \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)

Argument

\(\displaystyle{ \arctan{ \frac{\Im{z}}{\Re{z}} }=\arctan{ \frac{-1}{1}} =-\arctan{1}=- \frac{\pi}{4}}\)

Logarytm z modułu

\(\displaystyle{ \ln{ \sqrt{2} }}\)

Logarytm

\(\displaystyle{ \ln{\sqrt{2}}-i \frac{\pi}{4}}\)

[maaaaagda]

A dlaczego \(\displaystyle{ arctg}\).. taka jest definicja przejścia z postaci algebraicznej na trygonometryczną mam rozumieć..

[Mariusz M]

A dlaczego arctg.. taka jest definicja przejścia z postaci algebraicznej na trygonometryczną mam rozumieć..

Tak można także zastosować

\(\displaystyle{ \begin{cases} \arccos{ \frac{\Re{z}}{ \left| z\right| } } , \Im{z} \geq 0 \wedge \left| z\right| \neq 0 \\ -\arccos{ \frac{\Re{z}}{ \left| z\right| } } , \Im{z}<0 \wedge \left| z\right| \neq 0 \end{cases}}\)

[maaaaagda]

Dobrze.. a jakbym jeszcze chciała wyznaczyć wartość główną tego logarytmu, to podstawiam za \(\displaystyle{ k=0}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ ln(1-i)=ln|1-i|+i(\varphi+2k\pi)}\)?

[Mariusz M]

Dobrze.. a jakbym jeszcze chciała wyznaczyć wartość główną tego logarytmu, to podstawiam za k=0? Czyli wartość główna to byłoby \(\displaystyle{ \sqrt2}\)?

Ponieważ częścią urojoną logarytmu jest argument liczby logarytmowanej to wynikem jest

\(\displaystyle{ \ln \left(1-i \right) =\ln{ \sqrt{2} }+i \left( - \frac{\pi}{4} +2k\pi\right)}\)

Wartością główna zależy od tego jak zdefiniujemy argument główny liczby zespolonej

Jeżeli argument główny liczby zespolonej należy do przedziału \(\displaystyle{ <-\pi;\pi>}\) to
wartością główną logarymu będzie

\(\displaystyle{ \ln{\sqrt{2}}-i \frac{\pi}{4}}\)

Jeżeli argument główny liczby zespolonej należy do przedziału \(\displaystyle{ <0;2\pi>}\) to
wartością główną logarymu będzie

\(\displaystyle{ \ln{\sqrt{2}}+i \frac{7\pi}{4}}\)

Część urojona wartości głównej logarytmu jest równa argumentowi głównemu liczby logarytmowanej

[maaaaagda]

Ok. To mam taki przykład: \(\displaystyle{ ln(-1)}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1))}\)
\(\displaystyle{ Modul: |-1|=\sqrt{-1^2}=1}\)
\(\displaystyle{ Argument: \arctan \frac{0}{1}=0}\)
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln1=0}\)
Wartość główna to będzie po prostu \(\displaystyle{ ln(-1)=ln1+i 2k\pi}\) ? Bo ja nie mam określone na jakim przedziale mam wyznaczyć tą wartość główną..

albo taki:
\(\displaystyle{ ln(-1+i\sqrt3)}\)
\(\displaystyle{ ln(-1+\sqrt3)=ln2-i\frac{\pi}{3}}\)
I co znowu w wartości głównej dokładam tylko \(\displaystyle{ 2k\pi}\) czyli tak wyglądałaby ta wartość główna : \(\displaystyle{ ln2+i(-\frac{\pi}{3}+ 2k\pi)}\)

[Mariusz M]

Ok. To mam taki przykład: \(\displaystyle{ ln(-1)}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1))}\)
\(\displaystyle{ Modul: |-1|=\sqrt{-1^2}=1}\)
\(\displaystyle{ Argument: \arctan \frac{0}{1}=0}\)
\(\displaystyle{ ln(-1)=ln1=0}\)
Wartość główna to będzie po prostu \(\displaystyle{ ln(-1)=ln1+i 2k\pi}\) ? Bo ja nie mam określone na jakim przedziale mam wyznaczyć tą wartość główną..

albo taki:
\(\displaystyle{ ln(-1+i\sqrt3)}\)
\(\displaystyle{ ln(-1+\sqrt3)=ln2-i\frac{\pi}{3}}\)
I co znowu w wartości głównej dokładam tylko \(\displaystyle{ 2k\pi}\) czyli tak wyglądałaby ta wartość główna : \(\displaystyle{ ln2+i(-\frac{\pi}{3}+ 2k\pi)}\)

Ponieważ część rzeczywistą liczby logarytmowanej masz mniejszą od zera a część urojoną większą lub równą zero
to do arcusa musisz dodać \(\displaystyle{ \pi}\)
Gdyby część rzeczywista liczby logarytmowanej była mniejsza od zera a część urojona mniejsza od zera

to od arcusa musiałabyś odjąć \(\displaystyle{ \pi}\)