Udowodnić tożsamość (zespolone)

[neo_gracz]

\(\displaystyle{ \left|1-z _{1} \frac{}{z_{2} } \right| ^{2} - \left|z _{1}-z _{2} \right| ^{2} =\left( 1- \left|z _{1} \right| ^{2} \right)\left( 1- \left|z _{2} \right| ^{2} \right)}\) po lewo nad z2 jest sprzezenie ( nie wiedzialem jak to zrobic w Latexie

[Maciej87]

Podejrzana ta tożsamość.
A co kiedy \(\displaystyle{ z_1=z_2=2}\)?

[neo_gracz]

wtedy wychodzi 9=9 o ile sie nie myle

[Maciej87]

A, już wiem. Nie wiedziałem co to za głupia kreska i myślałem że ułamek.


-- 18 mar 2009, o 08:38 --

No dobrze. Więc warto znać taką parodię wzorów skróconego mnożenia: (szkic wyprowadzenia)
\(\displaystyle{ |a-b|^2=(a-b)\cdot\overline{(a-b)}=|a|^2+|b|^2-(a\overline{b}+\overline{a} b)=
|a|^2+|b|^2-2Re(a\overline{b})=|a|^2+|b|^2-2Re(\overline{a}b)}\)
Dlatego
\(\displaystyle{ |1-a\overline{b}|^2=1+|ab|^2-2Re(\overline{a}b)=1+(|a|\cdot|b|)^2-2Re(\overline{a}b)}\)
Różnica wynosi tyle ile trzeba.
Kreskę wprowadza się przez overline